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2023年1月進研高1模試
♡ 小問集合♡
1 次の
を正しくうめよ。ただし, 解答欄には答えのみを記入
せよ。
(1)(√5 + √2)? - (√5-√2)² を計算すると(ア)となる。
(2)2次関数 y=x2+6x+a+4(aは定数)の−4≦x≦-1における
最大値が9であるとき, a= (イ) である。
(3)3 つの集合 A, B, C を次のように定める。
A={2n | nは自然数 }
B ={3n | nは自然数 }
C={12n | nは自然数 }
このとき, A∩B ={(ウ) n|nは自然数}である。
また, 自然数xがCの要素であることは, xがA∩B の要素であるた
めの
(エ)
°
(エ) にあてはまるものを、次の1~4のうちから一つ選び, 番号で
答えよ。
1 必要十分条件である
2 必要条件であるが, 十分条件ではない
3 十分条件であるが, 必要条件ではない
4 必要条件でも十分条件でもない
(4)A店では1枚500円のハンカチを1枚買うごとに, タオル1枚に
つき50円引きになる券(以下, 値引券)を1枚もらえる。 花子さん
はこの値引き券を5枚持っていた。 ある日, 花子さんはA店で1枚
500円のハンカチを何枚か買い, その後さらに, 以前から持っていた
5枚と合わせて, 持っている値引き券をすべて利用し, 1枚 600円の
タオルをその値引き券と同じ枚数だけ買おうとしている。 花子さんが
このハンカチとタオルを合計8000円以下で買うとき,ハンカチは最大
(オ)枚買うことができる。 ただし, 消費税は考えないものとする。
(配点 20)

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式と計算 プチ解説
(1) 工夫無し(それぞれ展開して計算する)
(√3+√2)^2-(√5-V
= (√5)² + 2 · √5 · √2 + (√2)² − {(√5)² −2⋅ √5 · √2 + (√2)² }
.
.
= 5+2v10 +2 -(5-2V10+2)
= 7 + 2√10 - 7 + 2/10
= 4√10
工夫有り(置きかえて因数分解してみる)
(√5+√2)^2-(√5-√2)
= A2-B2
=(A+B)(A-B)
={(√5+√2)+(√3-√2)}{(√3+√2)-(√5-√2)}
=2√5×2√2
=4√10

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2次関数 プチ解説
(2) 平方完成して軸の方程式と頂点の座標を求めると
y=(x+3)2 +a-5 軸:x=-3 頂点(-3, a-5)
簡易グラフをお絵かきしてみると, x=-1のとき最大となることが
わかるので, y=f(x) とすると
f(-1)=9(-1+3)2 +a-5=9
よって a=10 答
-4
Max

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集合と命題 プチ解説
(3) 集合 A:2 の倍数 集合 B:3 の倍数 集合 C:12 の倍数
○ A∩B (A かつB) は "2と3の最小公倍数 6" の倍数だから
A∩B={6n|nは自然数}
op: 「xがCの要素」 q:「xがA∩Bの要素」とすると
p:「x が 12 の倍数」 q : 「x が 6 の倍数」
.pq は真
•p=q は偽 (反例 x=6)
と表せる
pg: 十分条件
p←g: 必要条件
したがって, 十分条件であるが, 必要条件ではない 3圄

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1次不等式の利用 プチ解説
(4) 花子さんが買うハンカチの枚数をx枚とします。
○ ハンカチの合計代金は500x
円円
値引後
の代金
○ タオルの合計代金は
(600-50)(5+x)
これらの合計が8000円以下であればよいので
値引券
の枚数
500x + 550(5 + x) ≦ 8000
この不等式を解くと 500x +550x≦8000-2750
1050x≦5250
x≤5
よって, 花子さんはハンカチを最大で5枚買うことができる。