ページ1:

4-1
漸化式
(1)a1,an+1=2an+1
a2=2a1+1=2x1+1=3
03=2a2+1=2x3+1=7
04=203+1=2×7+1=15
(2) a1=2,aint=ani-n
+idea (1)はantとanを〆とおいて、
特性方程式 α = 2x +1」
(テキストP.286(2)(d)
ant=2an+1
=x=2x+1
その一方で、ant1=an-n
m
anに2乗がついてるし、一般項anが
分からない。
→地味に、(aitazasax)を
求めるしかない。
az-2= 32-2=7
-46
のに2,
antian_n
az
22-1=3
α3
⇔又=||
2
94=93-3 =
定数項を消去して
等比数列をつくる
m
等比数列
anti-x=2(an-α)
An+1 - (+1) = 2 (an-(-1)}
月ant+1=2can+1)
<an+1=2(ai+1)=2^2=2"
⇔an=2"-1 として第4項目はn=4
一般項a4=24-1-16-1=15とできる。
ル

ページ2:

漸化式は今の自分と未来の自分を
m
mmmm
比べる!
(2) anh
=
yan
1
将来
rの等比数列
今の自分(an)の何倍が、未来の自分(an+1)
だろうか?と考える
14-2 (1) a1=2,ant=an+3
an
初項
antl
Out-an=3 (公差)
まずは、ancantの係数が1の簡単バージョン
に挑戦しよう。
(2) a₁ = -1), an+1=an +2n-1
amからantiになるには何が不足しているのか
(その差(違い)は何だろうか?)
①ant-anを考える
ant-an=2n-1bn
m
n-1
配
“四し
m≧2のとき、an=ai+bk=-1+(2K-1)
umm
n=1のとき、
12-2-1
(i) anti-an=
d→公差dの等差数列
(ii) anti-an = f(n) fin) =bnとすると、
数列{n}はfanの階差数列で、
P.282(3)参照 n2のとき n-l
an=ai+Zbk
k=1
=
||=|
n-1
-1+2ZK-1 P.282(2)
||=|
mm
= − | + 2.(n-1){(n-1)+}_
→ = n²=2n|
初項は特別扱い
k=1 (a),(b)
参照
-1(n-1)
2
mmm

ページ3:

4-2 (3) a1=1, amt=an+(-29-1
ここで、逆に考えてみると
n-1
anti = -30m+4
antan=(-2)
K=1
1+(-2)
・初項1,公比(2)
と変形して、
k=1
項数(n-1)の
等比数列の和
n≧2のときan=ai+2bk1,-2,4,-8,292 anti-1=-3(an-1)
um
n=1のとき
4-(-2) (1 =1+ 1{1-(-2) 13
3
=1
=
|-(-2)
P.275(2) 参照
・(-2)
=
3
4-(-2)
3
4-3 (1) a1=2,amt=3am等比数列
n-1
bnt
一般に、
1ant = Pan+g
⇔ant-X=plan-α)
この形にするのが
pointだ!!
カタマリごと
Onu1-1=-3(an-1)等比数列と見る
bnt=-3bn,bi=a1-1=3-121
bon=bi-rm-l=2.1-33
11
an-1=2.13am=2(-3)+1
#
・今回は、「anti-1=-3(an-1)」の形で
与えられていたけど、もし「anti=-3an+4」の形
で与えられたら、自分で「
|anti-1=-3(an-1)」
an
初項
公比
タイプだ
(2) a1=3, amt-1=-3(an-1)」
「amu-1=-3〔an-1)」
を整理すると、
わざわざ、
解きやすい形
で提供して
くれてる!
に変形する必要がある。
ant-1=-3an+3⇔ant =-3an+4
でも、ひらめくわけないので特性方程式を使う
のがコツだよ。
R286 (2)(d)
P.290
4-44-5 で、扱う
ant = Pan+gタイプ
注 考察してるだけ
タイプの問題だ。
だから、解答には
関係ない

ページ4:

4-4 a1=1,amtl=2an+1
(1)~(3)で誘導してくれるタイプなので嬉しい。
これさえ無ければ
(方針) ant = 2an+1
等比数列
定数項を消したい!!
なのになぁ〜
方程式x=2x+1の解を求める
(1)
ant
=
=2an +1
x
=
2x+1 特性方程式
anti=2an+
-)(-1)=2(-1)+1
定数項を消去
Oay-(-1)=21an-(-1)}できた♡
⇔amu+1=2an+
{an-a}={an-(-1)}を
カタマリと見る。
m
anti,anの代わりにつしとおいた方程式
x=2+1+中レベルの方程式。移項するだけ
x=-11
だし簡単だ。
(2) (1)の解を〆として数列{an-αろが
等比数列となることを示す。
x=x=-1ということ。→特性方程式
に代入しよう。
un
(3){an3の一般項
anti+1=20an+1)
TT
bnti
r
TT
bn
bmt = ②bu
bi-a+1=1+1=2|
bn=bioin-l
=2.2m-l=en
(2)より
慣れないうちは
置き換えると分かりやすい
bn=ant1に戻して、
(an+1)=2⇔an=27-1 (n=1.2)
移項
#

ページ5:

4-5 amt=pan+g型の漸化式の練習
(1) a₁ = 1, an+= 4an-b
特性方程式 x=4α-6を解いて、x=2
-α = 3α +4
Anti-α=3(an-α)
(2) a₁ =2, anH=3an +4
An+1 = 3an +4
α= 30+4
2α=-4
α===
代入
An+1=4an-6
特性方程式に代入 anti-(-2)=3{am-1-2)3
-)2=4.2-6
引き算
rb₁ = a₁+2
An-2=4(an-2)
bntl
bn
=
2+2=4
特性方程式を解く過程は、
等比数列
解答に書かなくて良い。
An+1 = 4an-6
An-24 (an-2),
m
K+an+ -2 = 4an -8
←
Anti-2 = 4 (an-2)
antl = 4an-b
ただ移項して、
(→)で元の式に戻せる
じゃん
4でくくっただけ
*特性方程式は変形のお助けアイテムに過ぎ
butl
=
bn
al-2-an-2),
ない。
211
(4) (an-2), b₁ = a₁-2=1-2=-1
bn = bir(-1)-4"-1
=
0-2 = (-1)-4-1
An+1 +2 = 3 (an+2)
bn+1 =3bn
bn=b-4.3n-1
An+2=4.3h+ (==) An = 4.3h²±1;
(3) a₁ = 1, ant =-3an +1
An+1=-3an+1
-) α = -3 α +1
Anti-α= -3 (an-α)
4-3--2
α=-3α+1
4α=1
α==
3
am ---3 (an-4) b=a₁-2 = 1-4 = 1/1
but
bn
bn=bi (-3)*- -(-3)
=
n-1
③(3)+1
<>ar + = 2 - (-3) 1+1 4 9₁ = 31-35+1
ゆえに、an=4+2
An=
-(-3)(-3)+1
4
+
an
-(-3)+1
4
4

ページ6:

4-5 (4)a=0.29mH +3an-5=0
2amt=-30m+5
ant = 32 an+ 1/3
Andy = -1/2 an + 1/15
-)α = -2/2α + 1/25
(am-α) = - 3/3 (an-α)
リー
an+1=pan+g
型に持ち込む。
Q=.
x=11
4-6 ai=1,ant
=
an
3an+2
(方針) 両辺の逆数をとる
(1) bn
=
のときbut1とbnの
関係
an
3am+2
2
3+
=
an
an
2・an+3
buti
| anti-1 = - 3/2 (an−1)
代代入
いけないので an≠0を示したい。応用レベル
b₁ = a₁-1 = -| |
but1=bnbu= birn
< An-1 = -(-3)^-
Anti
bntl
bn+1=26n+3
補足 逆数をとると、分母にがあっては
難関大志望の人は、以下の書き方を覚えておこう。
=(-1)・(2
ant =
an
3an+2
分子に注目して、OmH=0と仮定
するとan=0だから、
漸化式①でこれを
Ant1 =
ano
0
/3an+2
⇒ an = -(-3) "² + 1
繰り返して、
背理法
an =
An-10
30m+2
m
An= An-1 = An-2 = 1 = 9₁ = 0x+23122" 0
これは、a=1に矛盾。
よってam≠0,an≠0
→完ペキな解答を
書きたい場合は必須。
0
391+2

ページ7:

(4-6] (2) bn = an
but=2bn+3
ai
b₁ = α ₁ = + = 11
x=20+3
ka
=
20+3
α=-31
bul-a=2(bm-〆)代入
bm+1+3=2(bm+3)
Cntl
V
Ci=bit3=1+3=41
n-1
Cnt = ②Cm Cm=Ciorm-l=4.2ml
n-1
bn+3=4.2bn=4.27-3
ここで、an=t
より、
an
=
4.2m-1-3
15-1
ドミノで遊ぶとき、1番目のドミノを指で押す
のと同じで n=1のとき式が成立するか?
は自分で計算して調べてあげる必要がある。
1番目
1番目
倒れる!
n=1
ある時
ISTOP
1番目のドミ)が倒れるからと言って、その後方
で倒れるのがストップしてしまうかもしれない。
DA
自然数nについての等式、不等式を証明
するのに便利な数学的帰納法を紹介
するよ。 これは、ドミノをイメージすると
分かりやすい。
IIIIK
ある
「自然数nについて
式が成立」
⇔
「n番目のドシが倒れる」
と考える
n=1
n = k [n=k+1
自分で
番目まで順調にドミノが
倒した
倒れたと仮定して、
大+1番目もストップせずに倒れたら、すべての
ドミノが倒れる=「すべての自然数nについて
式が成立」と言える!

ページ8:

15-1 (1)
① n=1のとき(1番目のドミノを倒す)
ii n=kのとき
(2) ⑦ n=1のときはただの代入計算なので略。
1+3+5+…+(2K-1)=が
成立と仮定
(K番目のドミ)が倒れると仮定)
⑩n=kのとき
仮定
2.2+2・32+..+2*CK+=2(k+2)-4
①
|目標 n=
K+1のとき
2k+2{(+1+23-4
(KH)+1
n=k+1で、
2k+1
K+1
22°+2.3 +1 +2 {(K+1)+1}=2{(K+j+2}-4
この式を作りたい!!
整理した
目標1+3+5+…+{2(KH)-13-(K+13
(詳しく見てみると…)
(左辺)=
仮 より K2
[目標]の左辺 = 2.2+2・3+…+25CK+1+2+(k+23
1+3+5+
umm
i+…+(2K-1)+(2K+1)
=k+2K+1=(K+1=(右辺)
n=k+1のときを示すには、まず示したい形
(目標)を書き、部分的にn=kのときの
仮定が使えないか、考える。
出して
「目標の
右辺に
近づける
から (2k-1)
を書き出して
1①式を使う
=
準備をする
仮定からもっとシンプルに書けることが分かる
2F+(k+2)-4 +2ACK+23
=
2k+ (K²+2+K²+4K+4) −4
2をくくり
=2KH(2K+4K+6)-4
G
=
2k+2(k+2K+3)-4
=
2k2{(k++23-4
平方完成のノリ
[目標]の
=右辺

ページ9:

|5-||(3).
仮定
(2K)!
n=kのとき 1・3・5・・・(2K-1) = 2k •K!
1・3・5.....(2k-1)・(2k+1)=
_{2K+23!
|5-2
Kはもちろん
自然数!
仮定
-V
(1)⋅n = kax = (1+h) * = 1+kh-
(1)n=kのとき(1h)≧i+kh-①
目標n=k+1のとき
目標n=k+1のとき
2KH (KH)!
+2 +2
+2
仮定より
[目標]左辺 = (2K) (2k+1)
目標の右辺
の形に
合わせに
°>11
2k -K!
・(2k+2)
(2K+1)!・・(k+1)
2K.K!・2・(k+1)
↑
(2K+2)!
=
{2(k+1)}!
2k+1 (k+1)! 2k+ (k+1)!
(1th)+(k+1)h
を示したい。
①と(目標)の右辺を比べると、①の方を(12)倍
すれば良いと分かる。
K
(1+h)(1h)≧(1+kh)(1th) 目標の形
大
んでくくる
に近づけ
⇔ (I+h)+≧1+h+kh+khくて行こう。
Kh20
だから
=1+CK+Dh+kkoam
2 +0+1hj + 0

ページ10:

5-2 やや難
はもちろん自然数
(2)n=Kのとき
仮定
(3)
(注)
4番目
+++2
①
4以上の任意の自然数ひに対して
3>4ぴ-1
in=4
in=k
目標・n=k+1のとき(小
n=k+1を考える
大
①式を目標の式に近づける
n=1~3は今回、定義されてない
++++ckt2-1 3>4k-1-1 (仮定)
n=kのとき
n=k+1のとき
>4K²-1
+
K²
(k+1)² ≤2 - 1/2 + (k+1)²
目標 3k41. >4Ck+)-1
小
としたい!
よって、
(2)-(+
小大を示すには
小牛かつ
20
大一≧0を
CK+
示せば良い。
通分する!
→目標の式が
示せる
①と目標の左辺を比べて、①を目標の形
3倍すれば良い。
に近づけるには、
35.373(4k-1)
3k+1
3kより小さい
『4CKー1』がさらに小さければ
余裕で「3kt14(k+1」が言える。
→314F-1)-{4(k+13-13 を計算
『3(4k-1)』より

ページ11:

5-2 (3) 補足
2
3 (4-1) - {4 (KH)-13
=8K-8K-6←ただ展開
=2(4K-4K-3)
=2(2k+1)(2K-3)
①下に凸 >0
小
3 (4k²+) > 4 (k+1) -
4(k+1)²-1
MN
(3)① n=1のとき(略)
⑩n=kのときak=2K-1と仮定
n=k+1のとき
1/x_3
目標 akH=2(K+1)-1=2K+1
を示したい
与えられた漸化式のnをKに置き換えると
K
(k24)
3k+14(k+13-1が示せた1
kak+1=(k+1)ak +1
=(k+1)(2k-1)+]
=2kk+2K-1+1
=2K+K
=K(2K+1)
kakH=k(2K+1)
ak+1=2k+1
目標達成
だね!!
両辺にで
15-3 一般項anが漸化式を眺めているだけ
では分からないので、(1)でa2,03,a4を調べて
割る
規則性を見つける。
ai
az
az
[94]
(2)
初項
+2 +2
an=ait(n-1)d
1+(n-1)2
=2n-1
m
と推測

ページ12:

5-4 任意の自然数nに対して
4+2・グは3の倍数であることを
数学的帰納法により証明する。
①1 n=1のとき(略)
仮定
⑩n=kのとき 4+2.7k=3m-①
n=ktのとき
「3の倍数」という
情報を数式に
目標 4k+2.7k+=3% 整数
翻訳!
m
目標の右辺の形
w
を①から作る
×46
作る準備
4
4k=3m-2.7k、まず、4kt
4*+= 4. (3m-2.7*)
k+l
+27=4(3m-2・7k) +2.7k
ummi
3でくくる
ため、4・3mとかは
計算せずろが見える
形にしておくと良い。
=
=4.3m-8.7+14.7k
=3・4m+(4-8)・7k/7でくくる準備
=3.4m+6・7k
3(4m+7) 整数