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1
注意
問題 1, 2, 3, 4, 5 の解答を, 解答用紙の所定の欄に記入しなさい。 空欄 (ア)~
(ヌ)については, 分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの (数, 式など)
を解答用紙の所定の欄に記入しなさい。
(1) d=(√3,01) とする。 空間のベクトル, はともに大きさが1であり,
bic, ca 73.
(i) p,g,rを実数とし,=pa+g+rc とするとき,内積の大きさ
p,g,r を用いて表すと, xa = (ア)
(イ) である。
(ii) (5,0,z)=sa+(coso)+(sine)を満たす実数s, 0 が存在するような実数z
は2個あるが, それらをすべて求めると z = (ウ) である。
3n+2
(2) nを奇数とする。 nと
の積が6の倍数であるための必要十分条件は, n を
2
(エ) で割ったときの余りが (オ) となることである。 ただし, 実数xに対し
xを超えない最大の整数を [x] と表す。 また, (エ) (オ)は0 (オ) < (エ)
を満たす整数である。 (エ) (オ)を求める過程を解答欄 (2) に記述しなさい。
-2-

ページ2:

2
x²
rを正の実数とし,円C: (x-2)'+y2 = r2, 楕円 C2 :
+y=1を考える。
19
(1)円Cと楕円 C2 の共有点が存在するようなの値の範囲は (カ) ≦r≦
である。
(キ)
(2) r=1のとき, C と C2 の共有点の座標をすべて求めると (ク)
共有点のうちy座標が正となる点のy座標を yo とする。 連立不等式
である。 これらの
(x-2)+y^≦1
0≤ y ≤ yo
の表す領域の面積は (ケ)
である。
(3) 連立不等式
(x-2)²+ y²≤1
+y≧1
9.
y≥o
の表す領域をDとする。 Dをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は
(コ)
である。
-3-

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3
最初に袋の中に白玉が1個入っている。 次の規則に従って, 1回の操作につき白玉または
赤玉を1個ずつ加えていく。
1回目の操作では,コインを投げ, 表が出たときには赤玉を袋の中に1個加え、裏が
出たときには白玉を袋の中に1個加える。
. 2回目以降の操作では,コインを投げ, 表が出たときには赤玉を袋の中に1個加え, 裏
が出たときには袋から玉を1個無作為に取り出し, その色を見てから袋に戻し,さらに
同じ色の玉を袋の中に1個加える。
(1) 2回目の操作を終えたとき, 袋の中に白玉がちょうど2個入っている確率は (サ)
である。
(2) 3回目の操作を終えたとき, コインの表が2回, 裏が1回出ていたという条件の下で,
袋の中に白玉がちょうど2個入っている条件つき確率は (シ) である。
以下,kは2以上の整数とし,k回目の操作を終えたときを考える。
(3) 袋の中に白玉のみが入っている確率は (ス) である。
(4)
1回目の操作で赤玉を加えたという条件の下で, 袋の中に白玉がちょうど個入って
いる条件つき確率は (セ) である。
(5) 袋の中に白玉がちょうどん個入っている確率は (ソ) である。
-4-

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4
曲線 C:y=ex を考える。
(1) a, b を実数とし, a ≧ 0 とする。 曲線Cと直線y=ax+bが共有点をもつためのaとb
の条件を求め, 求める過程とともに解答欄 (1) に記述しなさい。
(2) 正の実数 tに対し, C上の点A(t, e') を中心とし, 直線y=xに接する円Dを考える。
直線 y=xと円D の接点Bのx座標は (タ) であり,円Dの半径は (チ) で
ある。 線分ABを3:2に内分する点をPとし,Pのx座標,y座標をそれぞれX(t),
Y(t) とする。このとき, 等式
Y(t)-kX(t)
lim
=0
t→∞
√{X(t)}+{Y(t)}2
が成り立つような実数kを求めるとk= (ツ) である。 ただし, limte = 0 である。
-9-
817

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5
半径 4√2 の球面 S上に3点 A, B, C があり, 線分AB, BC, CA の長さはそれぞれ
AB=4√6,BC=10, CA =6 とする。
(1) cos ∠ABC= (テ) である。 平面 ABC で球面 S を切った切り口の円をT とする。
Tの半径は (ト) である。 点Dが円T上を動くとき, △DAB の面積の最大値は
(ナ) である。
(2) 球面Sの中心0から平面 ABCに下ろした垂線 OH の長さは (二) である。
(3) 点Eが球面S上を動くとき, 三角錐 EABCの体積の最大値は (ヌ)
である。
-10-

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No.
5
Date
2
(1)
C₁
C
1x
2
x²
9
+
②よう
+
y
2
x
9
x²
20
9
x2
9
20
(X+3)(x-3) SO
-36x53
①③
より
(x-2)²
8
=
x² - 4 x + 4 + 1 x = 1 ²
4x+
9
2
P
4x+5
×4%)+5.
9
(x-
2
2 2
2
C₂
0
1
3
x
A
9
2
Y
+5-1
8
9
4
2
d
7
+5
C
3
x

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No.
3
Date
(2)
n
ル [3n+2]
6の倍数
2
nが奇数よう
とおく
n= 2k -1
2
3n+2
[ 3月12] =[3(k-1)+2]-[6k-3+2]
2
2
2
] = [361]
361
2
3n+2
n [
2
(2 k-1)-(3 h −1 )
612-26-3k+1
6h2-
5k+1
6k2
6h+k+1
61k-k)+k+1
①
6の倍数であるための
必要十分条件は
61-k)が言の倍数
このとき
k+16の倍数
とおく
h+1=6911は整数)
k=62-1

ページ11:

d
1x
9
+5
9
4
9.16
9
9
9
4
2
+
10
2
9
(x--1
4
9
2
2
③)
よつ
3のとき
3 < x < 3
⑤よう
÷(-3)-4-1-3)+5
9
d
+12+5
25
-3
の左辺の最大値は25(r=-3のときノ
87087
最小値は
2
2
{ } < 25
25
のとき)
-~
No.
Data
25
< 1 ≤ 5
(カ)(キ)
2

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