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<Recipe: 三角関数公式の解釈>
三角関数には数多くの公式が存在する。
各公式を如何に解釈し使いこなすかが重要。 判断基準は次の2つだけ
関数の統一 (関
角度の統一
角
参照: 三角関数のセオリー
・加法定理 (すべての公式の基本。 確実に覚える)
sin (α ±β) = sinacosβ ± cosasinβ
三角比の公式
cos (a±β)= cosacosβ + sinasinβ
tan (α ±β) =
tanα ± tanβ
1 + tanatanẞ
・倍角の公式(加法定理におけるα β を 0 に変換)
関角 sin 20 = sincose + cososine = 2sin0cose
cos20= cosocose-sinosine = cos20 sin20
sin20+ cos20=1
tan20+1=
CO20
(関
tan0 =
sinė
cose
よって
関角
cos20=1-2sin20 (sin20+cos20=1)
角
cos20=2cos20-1 (sin20+ cos20=1)
tane+tane
2tano
角
tan 20 =
=
1-tan@tane 1-tan20
cos20 の式をそれぞれ変形すると...
1-cos20
sin20=
2
cos20=
1+cos20
・半角の公式 (覚える必要はない)
eを
とすると
8
1- cose
sin²
=
Bf4
2
2
1 + cose
COS +
=
角
2
・3倍角の公式 (sinだけゴロで覚える)
角
sin 30=3sine - 4sin30
(池袋)サンシャイン, my (「-」)ヨン様参上 ( 3 乗 )
角 cos30 = 4cos30 - 3cose (sin の公式の前後を入れ替えたようなもの)
a

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和積の公式(加法定理から導けるが時間がかかるのでゴロで覚える)
A+B
A-B
sin A+ sinB = 2 sin
cos
2
咲いたわ咲いたわ
咲いたわコスモス
角度を足したり引いたりすると有名角になるとき
角度を足したり引いたりすると変数を集約できるとき
A+B
A-B
sin A-sinB = 2 cos sin
2
2
咲かない咲かない コスモス咲かない
sin(x+53 +sin(x-1)= = 0
TT
2sinx cosg = 0
A+B
cos A+cosB = 2 cos
A-B
COS・
(変数が一ヶ所の方が解き易くなる
2
2
越すわよ越すわよ (明日) 越す越す
A+B
・足し算、引き算を 「積の形」 に直したいとき
cos A-cosB = -2 sin
2sin 478
A-B
(数学では 「積の形を作り、 絞り込み」 は重要!)
(参照: 条件を絞りたい、条件式がほしい)
越さない越さない
先々までも
和積の公式の右辺において=x,4=yとし,
連立すると A=x+y,B=x-y
これらを和積の公式に代入すると...
積和の公式 (覚える必要はない。 和積の公式を逆方向 (右辺から左辺) に考える)
sinxcosy=1/2(sin(x+y) + sin(x-y)}
見た目は違うが実は同じ
cosxsiny = 1/2 {sin(x+y) - sin(x-y)}
cosxcosy ={cos(x + y) + cos(x − y)}
sinxsiny=1/2{cos(x+y) - cos(x-y)}
・三角関数の合成 (図を描いて処理する)
角度を足し引きすると有名角になるとき
・角度を足し引きすると変数が集約できるとき
積を和や差にバラしたいとき
(数Ⅲの積分で有効)
asin' + bcos'e = va² + b'sin (6+α)
(sina = √+b²
角度が揃っていて、 次数が1でないと使えない
・関数が統一されるので最大最小問題に有効
, cosa=
Va2+b2
手順
y
①sin, cos の係数をそれぞれx, y 座標と見て、 点をプロット
②原点と結んで、 距離 (係数)と角度(α)を調べる
(a, b)
Va2+b2
③それらを用いて最初の式を変形
b
α
0
a
'14.04 © 小出