✨ 最佳解答 ✨
この問題で一番大事なことは偶関数と奇関数の性質です.
nを自然数として
∫[-1->1]x^(2n)dx=1/(2n+1)[x^(2n+1)]|[-1->1]=2/(2n+1)
∫[-1->1]x^(2n-1)dx=1/2n[x^2n][-1->1]=0
[具体的にy=x, x^2, x^3, x^4あたりを考えてみるといいでしょう.]
質問とは関係ないですが, しっかり理解しておきましょう.
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問題の部分は
p(b/5+d/3)+q(a/5+c/3)+r(b/3+d)=0
任意の2次以下の多項式Q(x)なので, p=0[これはあるp]だけではなくp≠0の場合も考える必要があります.
ようするにp, q, rにどのような実数を入れようが上の等式は成り立つ.
つまりp, q, rに関して恒等式なので
b/5+d/3=0, a/5+c/3=0, b/3+d=0
となります. "ある"と"すべての(任意の)"の違いをしっかり意識してください.
ありがとうございます！任意の2次以下の整式ってかいてあるときは、2次からしたは全部当てはまるということですか？
そういうことです.
難しい問題ほど丁寧に問題文を読んで, 条件を把握することが大事です.
分かりました！ご親切にありがとうございます！
[訂正]
∫[-1->1]x^(2n)dx=1/(2n+1)[x^(2n+1)]|[-1->1]=2/(2n+1)=2∫[0->1]x^(2n)dx
区間は[-1, 1]だけではなく, 原点対称ならば同様の関係式が得られます.
グラフの対称性が分かっている場合はそこに注目して変数変換すると上手く計算できます.