Question

リオ

g’(x)≠0 と g(x)≠0 は同値でないのでしょうか？

証明の内容は理解できていますが、ここに疑問が残っています。そもそも同値だったらこのような証明は必要ないと思うので違うのだろうけれど、どのような判例があるのでしょうか？

どなたか教えて下さい。

22:33 ?                                                                          ml
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9

7777z1.

関数/(z).9()が(q.ので微分可能かつの(z)元0で
limz_。ar0 7(Z) = hmz_,。+0 9(z) = 0のとき

げ@⑤)

nmっa+0 ーー 4o7 = 十ooo7 三 ーoo
7(⑫)
ならば
ma+0 7⑨ 三 4or ニ十ooo7 ーーoo
9?)

となる. (ただし、4 c民とする.)
Prooた

はじめに開区間(6,0)で9(⑦ = 0となる点dがあったとす
ると9(<) = 0と定義むることにより、ロルの定理を用い
ての(の) ニ 0となる点#e (9が存在することになるの
で、ロピタルの定理の仮定に反する。よって (q,のの任意
の(すべての)点で9(z) 0とする。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

未設定

そこで証明していることは、「開区間(a,b)上でg'(x)≠0で、かつlim_{x→a+0}g(x)=0ならば、開区間(a,b)上でg(x)≠0」ということです。
例えば極限に関する仮定を外せば開区間(-1,1)上の関数g(x)=xが反例となります。

ベストアンサーありがとうございます。
勉強頑張ってくださいね。

リオ

ありがとうございます、またよろしくお願いします。

Answer 2

なお

質問の答えとして正しいかどうかはわかりませんが、
g(x)=x+1
なんてのはどうでしょうか。

リオ

g’(x)≠0のとき、ロルの定理を用いてg(x)≠0だと証明していますが、ロルの定理を使う必要はあるのだろうか？ということです。

判例と言ったらおかしいかもしれないですが、要するにg’(x)≠0のとき、g(x)＝0になることがあるのか？という疑問です。

未設定

そこで証明していることは、「開区間(a,b)上でg'(x)≠0で、かつlim_{x→a+0}g(x)=0ならば、開区間(a,b)上でg(x)≠0」ということです。
例えば極限に関する仮定を外せば開区間(-1,1)上の関数g(x)=xが反例となります。

リオ

そもそも最初を勘違いしていたようですね。
ということは、やはりlim g(x)＝0という条件がなかったとしても同値にはならないということですよね？

g(x)＝x が判例になるというところがよく分からないです。

未設定

おっしゃる通り極限に関する仮定がなくても同値にはなりません。

ある開区間において「つねにg'(x)≠0である」からと言って、「つねにg(x)≠0である」とは限らないので、
その反例として上のg(x)を挙げました。

g'(x)=1より開区間(-1,1)上で常にg'(x)≠0ですが、x=0においてg(x)=0となりつねにg(x)≠0ではありません。

リオ

納得しました、ありがとうございます。
ベストアンサーに選びたいのですが、返信扱いになっているのか、選ぶことができません。

新規の回答をして頂ければ選べるのかなと思います。