Question

サーモン

∫x^2(logx)^2 dxの不定積分の求め方を教えてください。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

えだまめ🫛

log(x)=t とすると
x=eᵗ また dx=eᵗdt

部分積分を用いて
∫x²(logx)²dx
=∫e²ᵗ･t²･eᵗdt
=∫t²e³ᵗdt
=[t²･1/3･e³ᵗ] - ∫2t･1/3･e³ᵗdt
=1/3･t²e³ᵗ - 2/3･[t･1/3･e³ᵗ] + 2/3･∫1/3･e³ᵗdt
=1/3･t²e³ᵗ - 2/9･te³ᵗ + 2/9･[1/3･e³ᵗ]
=1/3･t²e³ᵗ -2/9･te³ᵗ + 2/27･e³ᵗ
=(9t²-6t+2)e³ᵗ/27

t=logxを代入して
={9(logx)²-6logx+2}e³ˡᵒᵍˣ/27
={(3logx)²-6logx+2}x³/27

こんな感じです

えだまめ🫛

積分定数を忘れてました！

サーモン

分かりました、ありがとうございます！