Question

ねこ

積分の授業を受けて思ったのですが
「モノの面積を求めようと思って積分ができた」
それとも
「積分で求めたものを面積と定めた」
どちらですか？
というのも例えばピザの面積を求めるために積分したとしてそれは本当にピザの面積なのかな？と思ったからです。
手計算とパソコンでは積分の方法も違うと聞きました。
長文ですが最後まで読んでくださり、わかる方いらっしゃいましたら教えてくださいm(_ _)m

積分

Answer 1

gößt

今さらですが、気になったので少し。微分•積分と求積法の歴史はちょっとややこしいのです

まず、図形の面積を求める求積法自体はかなり昔から考えられてきました。それこそギリシャ数学の時代にはすでに様々な図形の求積が行われていたようです。しかしながら、このときの求積法は図形パズルのような側面が強く、高校数学で習う積分はまだ登場していないです

その後、時代は一気に進み17世紀になると微分法が生まれます。また、微分の逆演算として原始関数の概念が生まれます。このときに曲線の変化率を調べる微分法と図形の面積を調べる求積法には密接な関係があることが発見されるのです。ということは、高校数学で習うような、原始関数を求めるという意味での積分によって面積が求められることは偶然の結果とも言えますね

ねこ

ということは昔から図形の面積を求めていて、それが新しく発見された積分で求めた面積と偶然同じだったということですか？

gößt

まあそんな感じではないかと思います。ただ、積分という言葉にも少し困った点があります。高校数学では積分と言えば微分の逆演算、原始関数を求めることを指しますが、そのような捉え方は高校数学外だとあまりされないです。ここに混乱の原因があると思います。つまり文脈によっては積分法という言葉を求積法そのもののニュアンスで使ったりするのです。積分に積むという漢字が入っていたりintegralという英訳からも求積を意識している側面が見て取れますね

なので個人的には、「昔から図形の面積を求めていて、それが新しく発見された原始関数による計算結果と偶然同じだった」などと言った方がいいのかなーと思います

ねこ

積分で面積を求められるようになったのは偶然の産物だったんですね

gößt

まあそうですね

Answer 2

なお

面積を求めるために積分を発明しました。
そもそも微分積分はニュートン力学における基礎といっても過言ではないものですが、これは力学における面積が距離であるとか、速さであるという事実から必要とされたものです

ねこ

面積は距離で速さなんですか？😵
後半部分の理解が追いつきません泣

なお

dx=vdt
dv=adt
でわかるでしょう。

ねこ

さっぱりです( ˙-˙ )

なお

では忘れてください

ねこ

しょうもない質問に付き合っってくれてありがとうございます
東大頑張ってください

なお

いえ
しょうもないことはありません。ただ、今わからないことを細かく説明してもあなたの学びにはなりません。あなたが物理の世界に触れていく過程で気付けたなら、その時にはお話ししましょう。

ねこ

わかりました！
気づけるように頑張ります