✨ 最佳解答 ✨
もっといい方法があるかもしれませんが、とりあえず。
まず、
Σ[k=1~m](kのn次式)＝(mのn+1次式)
を示します
(以下、Σ記号の範囲が書かれなければ1からmまで和をとるとこととします)
二項定理より
(k+1)ⁿ⁺¹-kⁿ⁺¹＝(n+1)kⁿ+(kのn-1次式)
なので、k=1からk=mにおいて和をとると
(m+1)ⁿ⁺¹-1＝(n+1)Σkⁿ+Σ(kのn-1次式)
よって帰納的に考えれば
(m+1)ⁿ⁺¹-1＝(n+1)Σkⁿ+(mのn次式)
(n+1)Σkⁿ＝(m+1)ⁿ⁺¹+(mのn次式)
Σkⁿ＝(1/(n+1))mⁿ⁺¹+(mのn次式)
となり、
Σ(kのn次式)＝(mのn+1次式)
が得られます
また、同時に最高次の係数が1であるkのn次式をk=1からk=mまで足し合わせれば最高次の係数は1/(n+1)になることも分かります
数列a[k]が
a[k]はkのn次式
a[k]の最高次の係数はp(≠0)
を満たすとします
a[k]に操作2)をr回繰り返したときにはじめて一定の値sが並ぶとしたとき、
r=n, s=p•n!
であることをnについての帰納法で示します
n=1のときはOK
n>1のとき、a[k]に操作2)を一回施して得られる数列b[k]は
b[k]=a[k+1]-a[k]
なので
b[k]はkのn-1次式
b[k]の最高次の係数はpn
なので、帰納法の仮定より、b[k]は操作2)をn-1回繰り返したときにはじめて一定の値 pn•(n-1)!=p•n! が並びます
よって、a[k]に操作2)をn回繰り返すと一定の値 p•n! が並びます
また、r<n と仮定すると 操作2)をn回繰り返したときに一定の値0が並んでしまうため矛盾。よって r≧n です
以上より、n>1のときも
r=n, s=pn!
が成り立ち、数学的帰納法により全てのnで主張が成り立ちました
題意の数列はn次式かつ最高次の係数が1なので、操作2)をn回繰り返したときにはじめて一定の値 n! が並びます
長々と書いてしまいましたが、実際やっていることは
・Σkⁿ＝kⁿ⁺¹/(n+1)+⋯ を示す
・階差数列の公式を使う
の２つだけなので、そんなにえぐくない…たぶん…
まあ書いているときはバーっと書いてましたがあとで見返すと長くて読む気失せますね
後でゆっくり咀嚼してみます。笑
高校一年生の7月段階で解ける内容のはずなんですが…( Д ) ⊙ ⊙
こんな式で表せるんですね(´･ω･`)
(a+1)^n-a^nはa^nが消えるから、次数が下がるってこと。
→n回繰り返せば確実に定数をとる。
nになるのはこんな理屈ですね。
n!は明日回答します。
高校一年生には大学生様の回答は理解できませんでしたーΣ(´□｀;)
明日までに頑張って咀嚼しますぅ
そういう感じですか。なんだか二項定理も帰納法も使えないのにどうすれば、とか思ってましたが思考が固まり過ぎていたようです
じゃあやっぱり
aⁿ-bⁿ=(a-b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+…+bⁿ⁻¹)
なる因数分解を利用することで (a+1)ⁿ-aⁿ がn個のn-1次式の和になり、かつそれぞれの項の最高次の係数が1であることからn!になることが言える、という感じですかね
はじめに書いた回答は高校2年生の内容(二項定理、数列)なので来年になったらわかると思いますよ
回答いりませんでしたね笑笑
大体そんな感じです。
大学生様(名前が打てません^^;)の式も何となく理解出来たと思います。←気がするだけ(笑)
知識が深まってよかったです( ´ ω ` )
回答ありがとうございました。
PS.
確率まぁまぁ苦手なので、質問することもあるかも知れませんがそのときは…
え、えぐい…😂笑