Question

勉強嫌

なぜx二乗で場合分けしてるんですか？

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

スー

私としてもその問題結構苦手で、わかりきってない部分があります…
しいて今の私の持てる最大限の知識で答えるならこうなるでしょうか
結論からいえばx^n型はxの値によって場合分けする必要がある、ということです。それによって極限値がどうなるかがかわってきますから…

勉強嫌

なるほど
今日、何度もありがとうございます！

勉強嫌

こういう問題はとりあえずx二乗でやってけばいいってことですかね？

Answer 2

スー

この問題の場合はそれで良いのですが、今後その系統の問題ではsinや絶対値が出てくることがあると思います。

まとめると、極限値が一定の値に収束する(0や1)または発散(∞や-∞)になる場合で場合分けをすることを念頭に学習して見てください。

例えばsinなら中身がkπ(kは整数)のとき、0になりますがその他の場合は一定に定まりませんよね(もちろん+や-があることは分かる)
lim(n→∞)nsinxなどと言われたら、中身がどうなるかで変わってくるわけですよ。この場合はx=kπのとき、0になり、その他の値の時は∞または-∞となります。∞になる時は基本的に分母、分子に共通する割れるものがあるはずなので、分子分母を割って上手く一定値に収束させましょう。
類題の解説をサラッとしますね。

問題:lim(n→∞)nsin2x+1/nsinx+1の連続性を調べよ。

nとxの二文字が共存しているのでまた場合分けが必要になります。
sinx=0、つまりx=kπ(kは整数)のとき、1/1=1(nsin2x,nsinxの極限値は共に0に収束する)
sinx≠0、つまり、x≠kπであるとき、
分子分母をnで割って、lim(n→∞)〈sin2x+1/n〉/〈sinx+1/n〉=sin2x/sinx
sin2x=2sinxcosxより、極限値は2cosxに収束する
グラフを書くとわかりますが、この結果はx=kπで連続、他で不連続となります。

結論から言うと式の形などをみて、極限値が一定に定まりそうなものとそうでないものを区別できるようにしましょう。と言う感じでしょうか…(nのついてるものが0にいくか、1に行くか、∞に行くか、みたいなパターン分けはありそうですが…)

問題になると言うことは必ずこの手の問題はパターン分けできる、と言うことだと思うので。
複雑そうなもの(さっきで言うsinの問題)はうまくできないか工夫を凝らして見るのもいいかもしれません。実際さっきの問題ではわざわざ-を考えなくて良くなっていますし。
上からみたいになってしまって申し訳ないのですが、ぜひ工夫を凝らしながら楽しんでもらえればと思います。

勉強嫌

凄く細かく例までありがとうございます！
わかりやすかったです
全然上からで大丈夫です