Question

ゆうな

（3）の（ⅰ）についてです。一枚目が問題、二枚目が解答、三枚目が自分が書いたものです。
答えは合っていたのですが、場合分けしていなかったので減点されました。
確かに点Pでの極値が極大値になることを増減表を書いて示さなかったのもあると思うのですが、なぜ−Pと0と1の大小関係での場合分けをしなくてはならないのですか。
0＜x＜1で極値を持つから0＜-p＜1ということにしたらダメなのですか。
答えてくれたら嬉しいです🙇‍♂️🙇‍♂️

p, gを実数とし, 関数f(x) を
f(x)=x^+ax²-2x+2
(
とする.また, f (1)=0が成り立つとする.
(1)g を用いて表せ.
(2)=1のとき, f(x)の増減を調べ, f (x) の極値を求めよ.
(3) f(x)が0<x<1においてただ1つの極大値をもつとする.
(i)
り得る値の範囲を求めよ.
(ii) f(x)の0<x<1の範囲における極大値を与えるxの値をtとし、3点(0, 0),
(1, f(1)), (t, f(t)) を頂点とする三角形の面積をSとする. pが (i) で求めた
範囲を変化するとき, Sが最大となるかの値を求めよ.
ただし、3点(0,0), (a, b), (c, d)を頂点とする三角形の面積は
-lad-bc であることを用いてよい。
//lad

(3)(i) (1) の結果より,
f(x)=x'+1/23 (p-1)x2px2+が、
f'(x)=4x²+4(p-1)x2-4px
=4x{x2+(n-1)x-p}
=4x(x-1)(x+p).
f'(x) =0 とすると,
x=0, 1,
p.
0 のとき
(ア) -D0 すなわち
0<x<1において
x(x-1)<0, x+p>0
であり, これらより,
f'(x) <0
であるから, f(x) は 0<x<1の範囲に
おいて減少し, この範囲においては極大
値をもたない。
(イ) 0-p1, すなわち -1 <p<0 の
とき
f(x) の増減は次のようになる。
x
0
-P
1
・・・
f'(x)
- 0 +
0
-
0 +
f(x)
極小 極大
極小
このとき, f(x) は 0<x<1の範囲に
おいてただ1つの極大値をもつ、
(ウ) 1≦-p, すなわち-1のとき
0<x<1において
x(x-1)<0, x+p<0
であり, これらより、
f'(x)>0
であるから,f(x)は0<x<1の範囲に
おいて増加し, この範囲においては極大
値をもたない.
(ア), (イ), (ウ) より 求めるかの値の範囲
は、
-1 <p<0.

(3) (1) f(x) = 2 ½ + ½ (P-1) 2° -2p x² + p²
f'(x) = 423-4 (P-1) 2-4px-
x³ + (p-1) x² - pe=0
·λ { x² + (p-1) a-p} = 0
26
{(x+p) (2-1)}
-P.T
2=0,-P, T
2
0
54(3)(i)
0 < x < |
において極犬値をもつので、
SC-P)が極大値、
0 < -p < 1
-/<p<0
104(3)(i)
5
4(3)(i)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ふぃる

場合分けの必要性はあまり感じられません。
実際、fは実数上で微分可能な関数であり、仮定から開区間(0,1)に極大値が存在するから、f'(c)=0となるc∈(0,1)が存在することになります。ここで、f'(x)=0の解全体はx=0,1,-pであり、0,1∉(0,1)よりc=-pに限られます。すなわち、0<-p<1が成り立ちます。これで0<-p<1が仮定を満たすための必要条件であることが言えます。
採点基準にそうなっていても十分性を確認すれば問題ないと思います。
ただし、ご指摘の通り、増減表を書いてないことは十分性の確認不足なので減点になります。