Question

りんご

この問題で、Aを原点Cをx軸上において設定すると計算が相当複雑になってしまうのですが、これは1個ずつどう置くのか検討するという方針で合ってますか？

OTO
(35点)
鋭角三角形ABC を考え, その面積をSとする。 0 < t<1をみたす実数に
対し, 線分AC を t 1 -t に内分する点をQ 線分BQ を 1 に内分する
点をPとする。 実数t がこの範囲を動くときに点Pの描く曲線と, 線分 BCに
よって囲まれる部分の面積を, Sを用いて表せ。
A

これよりy=g(x)のグラフをかくと右のようにな
るので g(x) = 0 は整数解をもたない『より
3
ay
PR
DAC
18(x) (0) (0.0) (A
0<.0 <0,5>>@AR
A Y
y=f(x)
1-t
A
1-t Pt
B
18
は
B-1)=
y=g(x)..
I
a
S
A(0,0), B(a,b), C(0,c), P(x, y) となるように座標軸を定める.ただしa>
0,c>0,0<b<cとする.このとき,△ABCの面積は
300
S=1/2AC(Bの座標)=1/200
BC
...①
である.Pは線分 BQ を, 点 Qは線分AC をそれぞれt: 1-tに内分するので
に巻き
この定積分に
この
AP=(1-t)AB + tAQ
RASA
あたまを=(1-t) AB + ttACである(x,y)=(1-t) (a,b)+t(0,c) こと
(1-1)AB+1.1A(1,1)=(1D)(a,b)+t(0,c)こと
③すれば
全版:.x = a(1 - t)...... ②, y = ct2 + b (1 - t).....③
t=1-4 (②より)を0t<1と③に代入して整理するとPの軌跡の方程式は
a
C
y
= x² -
2
a²
2c-bx+c,0<x<a ∠BAC=90°
a
となる.これをy=f(x) とおく. 直線 BC の方程式は
b-cr+c
b - c x + c
y =
a
だから,これをy=g(x) として
とな
f(x) − g(x) =
x(x-a)
- 95 -
A

T=
=Sg(x)-f(x)}dx=_b
S" (g(x) − f(x)\dx = Sox(x-a)dx
と表せるので,0≦x≦aにおいて, f(x) ≦g(x) である. したがって、Pの描く
曲線と線分 BC によって囲まれる部分の面積をTとすると
&
=
a-
2
(A) (+
① ④より,
T=1/S
土)
別解
=0,-2
A(a,b), B(0,0),C(c,0),P(x, y) とおけるような座標軸を定める
△ABC は鋭角三角形より0<a <c,b>0,c>0とする。
bc
これよりS=
2
また条件より
A-
BP=tBQ=t{(1-t)BA + tBC
=t(1-t) BA +t2BC
ただし、
いずれも
0.2のときのみでし
J-2 つまり
3で
(x,y)=t(1-t) (a,b) +f(c,0)
:.x=(c-a)t2+at(=x(t) とおく), y=b(t-t) (=y(t) とおく)
0<t<1だからy>0であり, c-a > 0 だから
x'(t)=2(c-a)t+a>2(c-a) •0+a=a>0
(2,$
また (x(0),y(0)) = (0,0), (x(1),y(1)) = (c, 0) である.よって,P
の上側をBからCまで動き, x 座標は常に増加する. Pの動く曲線と線分 BC (
軸)とで囲まれる領域の面積を T とする. x=cのとき t = 1, x = 0 のと
きt=0,dx=x(t)dt,y=y(t) より
T =
= Soydr
= S² y(t
DARD
を意識していたかどう
y(t)x(t) dtが分かるだろうし、五十!という接するの
(
ALISA(1-1)=
=bf {2(a–c)t³ + (2c-3a)² + at} dt(DD-
-
= b[ a = c 1 +
2c-3af3+
3
別解
-
bc
6
(①より)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ものぐさ

そもそも図を先に書いてみて概要を掴んでからやるってのはそうなんですが
その方針で計算してみてもxの値とyの値が逆に出てくるだけですし、yが明らかに単調増加に対してxが二次式でややこしいなって段階で面積出す時にyでx積分した方が楽だなってなります。
しかもわざわざx,yの式出すのも面倒なんで最初から別解のようにtの媒介変数表示として計算するってのも自然な発想だと思います。

りんご

なるほど、理解しました！回答ありがとうございました！