Question

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この問題て赤い波線を引いているところが分かりません。なぜg(1)≠0となるのですか？どなたかお願いします

ノートを使って取り組もう!
わからないときは解答解説ページの
よう。
を実数の定数として
= 1/2-77
f(0) = 1/12 cos20+2ksin0+ 3 6
k
とおく。 このとき次の問いに答えよ。
□(1)=sin0 とおくとき,f(9) をェで表した式を g(x) とする。 g(x) を求めよ。
□(2) についての方程式f(0)=0が0<<πの範囲に異なる2つの実数解をもつような
kの値の範囲を求めよ。
('03 富山大・教育,経済・改)

振り返り
解答 間違えた原因やどうすれば解けたかを考えながら読もう。
も参考にしよう!
(1)
ƒ(0) =
k
0 = 1/12cos20+2ksin0+
76
-3
76
3
=1/12 (1-2sin29)+2ksin0+
x = sin( とおくと,
1
g(x)=1/12 (1-2.m2)+2k+
k
3
76
k
A
A 基礎事項
2倍角の公式
cos 2a = cos² a-sin² a
= 1-2 sin² a
= 2 cos² a-1
xと0の対応関係を調べ
1
=-x2+2kx+
(k-2)
3
よって,g(x)=-x+2kr+1/2 (k-2)
(答)
B
POINT 1
(2)=sin0 のとき,xと0(0<0<) は次のように対応する。
BC
(ア) 0<x<1のとき
1つのxに対して2つの0が定まる
(イ) x=1のとき
1つのェ(=1)に対して1つの0(=△)
が定まる
(ウ) x≦0,1<xのとき 0 は存在しない
2次方程式の解の条件に
読みかえる
こう
考えても PK
xと0の対応関係を調べるに
は,解答のように単位円を見
いてもよいし、x=sinのグ
ラフを利用してもよい。
YA
(イ)
a
X
XA
1
To
a
x=sind
-2
π
B
π 8
(ウ)

したがって, 「f (0)=0が0<0zの範囲に異なる2つの実数
「解をもつ」という条件は, 「g(x)=0が0<x<1の範囲にただ1つ
の実数解をもつ」かつ「g(1) ≠0_1
ことと同じである。
(*)・・
振り返りと0の対応関係を調べ2次方程式の解の条件に読みかえることができたか
Check
このことはグラフの条件で考えると, 2次関数y=g(x) のグラフ
が0<x<1の範囲で軸とただ1つの共有点をもち,
かつ g(1) ≠ 0 ということである。D
この条件(ただし, 接する場合は除く) は
2次方程式の解の配置問
題を2次関数のグラフの
条件に読みかえる
(0) (1) 符号が異なれ
ば 2次関数 y=g(x)のグラ
フは, 0<x<1の範囲で必ずエ
軸とただ1つの共有点をもつ。
YA
D POINT
g(0)g (1) < 0 または g (0) = 0 で g(1) < 0 かつ軸が正 E
のときに成り立つ。
g(0)g (1) < 0 すなわち,
E
1/(k-2)(-1+2k+1/3-2/8) <o
<0
(k-2)(7k-5)<0
5
<k<2
7
g(0) = 0 で g(1) <0 かつ軸が正のとき, g(0) = 0 はん=2となり,
5
g(1) <0は<となるため不適。
さらに,y=g(xc) のグラフがx軸と接する, すなわち, g(x)=0
が重解をもつ場合について調べる。F
+2kz+1/2 (k-2)=0の判別式をDとすると,
1
g(0) = 0, g(1) < 0, 軸が正の
場合もただ1つの共通点をもつ
が不適。
YA
4
1/2=k+1/3(k-2)=0
3k+k2=0
2
k=-1,
3
g(x)=0 の重解は, x=kなので,その解が0<x<1の範囲にあ
るのは,k=2/23のときである。G
以上より、求めるkの値の範囲は,
2
3
k = /. /< k < 2 ----- (*)
振り返り
Check
□ 2次方程式の解の条件を2次関数のグラフの条件に読みかえることができたか
G
I
落とし穴
「g(x) =0が0<x<1の範囲
にただ1つの実数解をもつ」
条件には, 重解の場合も含ま
れる。 そこで、 重解の場合は
別に調べてその解が0<x<1
の範囲にある場合は,答えと
しなければならない。
g(x)=0 の重解は、解の公式
より、
=-2k + √D=k
-2

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ととろ

説明の仕方はいろいろありますが、簡単には因数定理を思い出して、
g(1)=0なら、g(x) は(x-1) を因数に持つ
つまり g(x)=0 は x=1 を解に持つ
ところがx=1だとθはπ/2の1つしかないので不適
ということです

☼

なるほど！x=1を因数に持つとだめだからということですね！わかりやすい解説ありがとうございます！助かりました😊