Question

りんご

このページで言っているのは、適度に変形してから微分した方がよいということでしょうか？1番左上に、対数微分法の利点と書いてありよく分からなくなってしまいました。

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対数微分法の利点と不等式の証明
探究例題 5 不等式の証明での工夫
次の問題について,太郎さんと花子さんと次郎さんが話している。
問題: eを自然対数の底, すなわち e = lim1+
817
+1)
とする。すべての正の
実数xに対し、不等式(1+1)*
<e が成り立つことを示せ。
(東京大改)
太郎: (右辺) - (左辺)=f(x) とおいて,微分すれば簡単そうだよ。
x
f(x)=e-(1+1/2) とおくと, f(x) =･･･あれ?
x
...
花子:(1+1/2) はそのままだと微分できないね。(関数) (M) のような形を微分する
ときは、対数微分法を利用したよね。
太郎:なるほど。f(x)=e-(1+1/2) 2
の両辺の対数をとればよいかな。
次郎 : それだと, 対数微分法はうまくできないよ。 そもそも, lim 1+
x
1
817
=eより、
x→∞としたとき1+-
の極限値はeとなるから,(1+1/2)がエン
XC
で単調増加することを示すことができればよいよね。
(次郎さんの解答)
g(x) = 1+ +12) とおくと,x>0より g(x)>0であるから両辺の対数をと
ると
x
logg(x)=log(1+1/2) ⇔logg(x) = x{log(x+1)-logx}
両辺をxで微分すると ... (A)
花子:対数をとるとよいということだね。 与えられた不等式を、対数をとって変形
してから考えるとどうなるかな。
(花子さんの解答〕
x>0より (1+1)>0であるから,(1+2) <e の両辺の対数をとると
⇔log(x+1)-logx- <0 ..①
10g(1+1/2)
<1⇔x{log(x+1)-logx} <1 D
(0 <) 18ol
x
20
与えられた不等式と同値である① を示す。
①の左辺をm(x) とおいて, m(x) を xで微分すると
(B)
(1) (A)に続くように,問題を解け。
(2) (B)に続くように,問題を解け。
(

1
思考プロセス
g(x) =
の増減を調べ,g(x) <e を示す。
>(+1)
<e
⇔ log 1+
(1)
対数微分法を用いてg'(x)
=...
g(x)
g(1+1)* - loge < 0
見方を変える
m(x)=
_の増減を調べ,m(x) <0 を示す。
微分して m'(x) =
ReAction 関数の増減は, 導関数の符号を調べよ IIB 例題 220
g'(x)
(1)
=
g(x)
log(x+1)-logx+x
1
x+1
x
SIT
=
log(x+1)-logx-
h(x)=log(x+1)-logx
1
(2)
章
x+1
1
とおくと, x>0 におい
x+1
1
1
1
て h'(x) =
1
(x)の正負が分からない
ため,さらに微分して増
減を調べる。
x+1 x (x+1)2
<0
x(x+1)2
よって, h(x) はx>0で単調減少する。
x→∞
また, limh(x) = lim{log(1+1/2)-111}=0であるか(x)の正負を考えるため
いろいろな微分の万月
ら
h(x) > 0
ゆえに、②において,g(x)>0であるから g'(x)>0
したがって, g(x)はx>0で単調増加し, limg(x)=eで
x→∞
x
1
あるから g(x) すなわち
1+
<e
x
加する
(2)x>0 において m'(x)=
=
1
x+1
1
1
1
+
>O
X
x²
2
x2(x+1)
に,極限を求める。
)
正の実数xについて,
y=(1+1/2)は単調増
y (1)
e
10
19 y=(1+1)*
であるからm(x) <0 0
x
よって, m(x)はx>0で単調増加する。
limm(x)=lim {10g(1+1/2)-1/}=
x→∞
x→∞
ゆえに、 ①を示すことができた。
したがって (1+1/2) <est
探究例題の花子さんの解答では, 与えられた不等式について, 対数をとって同値変形して
から,微分を行っています。 次郎さんの解答では,g(x)の増減を調べるために,h(x) を
さらに微分する必要がありましたが,花子さんの解答では,m'(x) を求めるだけでm(x)
の増減が分かるため, 計算は簡単になっています。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ものぐさ

そんな難しく考えなくて良いです。
不等式の証明の時に差をとった関数を考察する事があるってのは前提知識で
ややこしい関数を微分する時には対数微分法が有用だよねってのがテーマで
ややこしい関数の代表として(1+1/x)^xが出てきただけです

りんご

わかりました！回答ありがとうございました！