Question

りんご

この問題の赤の下線についてで、下線の上に書いてある因数定理より、(x－ω)と(x－ω￣)で割れるのは分かるのですが、両方で割れるというのが何故なのか分かりません。1番左の写真のようになることはないのですか？教えてください！

13. A O
3で割った余りが1となる自然数nに対し, (x-1)(x3n-1) が(x-1)(x-1)で割り切
れることを証明せよ。
[18 慶応大

指針
13 〈1の3乗根を利用する割り算の証明問題 >
x2+x+1で割り切れることを示すには, 方程式 x2+x+1=0の解の1つであるω,その共
役複素数について成り立つ次の性質を利用する。
とは1の3乗根であり
ω=1,ω'+w+1=0, (w)=1, (w)+w+1=0
(x-1)(x3n-1)=(x-1)(x-1)(x2n+x+1)
3
(x-1)(x-1)=(x-1)(x2+x+1)(x-1)
(S>
よって, x2n+x" +1がx2+x+1で割り切れることを示せばよい。
ここで,x2+x+1=0 の両辺に x-1 を掛けると
(x-1)(x²+x+1)=0 すなわち x3=1
←x3n-1=(x")3-1
=(x-1){(x")2+x"+1}
共
よって,1の3乗根のうち、虚数であるものの1つをωとおくと,
w=1, w²+w+1=0 である。
ので
また,の共役複素数も方程式 x2+x+1=0 の解であるから,
x2+x+1=(x-ω)(x-ω) と因数分解できる。
ここで,f(x)=x2n+x"+1 とおくと f(w)=w2n+w"+1
nは3で割った余りが1となる自然数であるから, kを0以上の整数
とすると, n=3k+1 とおける。
よって
f(w)=2(3k+1)+w3k+1+1= (ω3)2kw2+(ω3)・ω+1
=ω'+w+1= 0
また,同様にして, f(w)=0 も成り立つから, x2n+x+1は
(xw) (xw) すなわち x2+x+1で割り切れる。
したがって,3で割った余りが1となる自然数nに対し,
(x-1)(x3n-1) は(x-1)(x-1) で割り切れる。
◆ω=1 を代入。
wa+w+1=0 を代入。
300-* (1)

24は8でも6でも
割れるが、24は
8.6では割れない

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ものぐさ

f(x)=(x－ω)P(x)を認めてくれるなら
xにω バーを代入してもωバー-ωが0にならないからP(x)も結局(x－ωバー)で割り切れてくれないと困りますよね

りんご

理解しました！回答ありがとうございました！

Answer 2

ふぃる

少し一般化して、f(x)がα,β(α≠β)を根に持つ。すなわち、f(α)=f(β)=0とする。このとき、因数定理より
f(x)=(x-α)g(x) (g(x)は多項式)
が成り立つ。
これにβを代入して
0=f(β)=(β-α)g(β)
となるから、α≠βより、g(β)=0
よって因数定理より
g(x)=(x-β)h(x) (h(x)は多項式)
とかける。以上より
f(x)=(x-α)(x-β)h(x)
とかける。つまり、(x-α)(x-β)で割り切れる

このα,βをω,ω¯ とすれば(x-ω)(x-ω¯ )=x²+x+1で割り切れることが分かります

りんご

分かりやすく教えていただきありがとうございました！

Answer 3

sin theta

ωとその共役は明らかに違う複素数なので，二つの式別の式になります。

りんご

なるほど！納得しました！回答ありがとうございました！