Question

れもん

赤線部において、左側極限を使っているのはなぜですか？🙏
お願いいたしますm(_ _)m

礎問
59 微分可能性
関数f(x) を次のように定める。
log.x
(x≥1) AC I-
ania
I
f(x)=
x2+ax+b (x <1)
このとき、関数f(x) がx=1で微分可能であるように, a, b を定め
よ. ただし, lim
log (1+h)
h-0
精講
h
-=1 は用いてよい.
f(x) がx=αで微分可能とは、f'(α) が存在することを意味しま
すから,ここでは f'(1) が存在することを示します.
定義によると lim
h→0
f(1h)-f(1)
nial h
-=f'(1) ですが,1+hと1の大
小,すなわち, ん>0 とん<0のときでf(1+h) の式が異なるので,ん→+0,
ん→0 の2つの場合を考え、
f(1+h)-f(1)
f(1+h)-f(1)
lim
= lim
52 左側極限,
ん→+0
h
0114
h
または白田
右側極限
が成りたてば
lim
f(1h)-f(1)
h
が存在する
h→0
ことになり、目標達成です。 これだけでα, bの値は求
められますが、ポイントにある性質と, 連続の定義を利
使用してαとの式を1つ用意しておくと, ラクに a, b
の値を求められます。
53
解答
まず, x=1で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ.
lim (x2+ax+b)=0
x→1-0
よって, 1+α+6=0 ...... ①
x→1
このとき
f(1+h)-f(1)
lim
= lim
1 log(1+h)
ん→+0
h
ん→+0
h
1+h
h_o}
10g1=0
また。
①

1
log (1+h)
h
f(1+h)
= 1
0a
f(1)
= lim
(1+h)²+a(1+h)+b
◄ƒ(1)=0
h
h--0
h
=
= lim
→+01+h
また, lim
0114
= = lim
h--0
h2+(a+2)h+a+b+1
h
= lim (h+a+2)=a+2
0114
f' (1) が存在するので, α+2=1
①,②より,a=-1,6=0
2
1+a+b=0

微分可能性

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ものぐさ

与えられた関数がx<1でx^2±ax+bだから

れもん

回答ありがとうございます🙇🏻‍♀️✨️
では赤線部の式は左側極限と右側極限の一致を示した式という解釈で合っていますでしょうか？🙏

ものぐさ

そうですね。微分可能であるために必要条件として連続であることが前提であってx≧1の範囲では0になってるのがわかりきってるのでx<1の左側もちゃんと0に近付いてきてくれるかを確認してます

れもん

理解出来ました！！
ありがとうございます🙇‍♀️