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基本 例題 58
対数微分
次の関数を微分せよ。
x+3
(2) y=xx+1(x>0)
(1) y=1/(x+1)
CHART & SOLUTION
対数微分法 両辺の対数をとって微分する
山形大)
基本 57
両辺の絶対値の自然対数をとると 積和商→差が乗が倍となるから微分
の計算がスムーズにできる。 その際, yはxの関数であるから,合成関数の微分法 (基本例
50 参照)から
(logy)=log/y=log/y.dy_1
dx
y=y
dx y
J'
dy
であることに注意する。 このような微分法を対数微分法という。
(1) 真数は正でなければならないから, 絶対値の自然対数をとる。
(2)(x+1)=(x+1)x* は誤り! y=f(x)(x) (f(x)>0) の形なので、両辺の自然対数を
とると logy=g(x) logf(x)
解答
この式の両辺をxで微分する。
(1)→する
(1)両辺の絶対値の自然対数をとると両の奴を出て
x+3
log
(x+1)3
=log| ||x+3||
\\x+13
次の関数を
Q (1) y=e5x
9(4) y=eco
CHART &
指数関数の微
上の公式を用い
(1)(2)合成関
解答
(1) y'=e5x.
=5e5x
(2)y'=2x(
=-2-
(3)y'=(x)'
=3+.
log|y|== (log|x+3|-310g|x+1|)
=3(x
両辺をxで微分すると
(4)y'=(ex
x = 3(x+3x+1)=5 (x+3)(x+1)
1 x+1-3(x+3)
両辺にyを掛ける前に
=exco
y
右辺を整理しておくと
=ex(c
2(x+4)
5(x+1)(x+3)
x+3
よって y= (x+1)
2(x+4)
5(x+1)(x+3)
2(x+4)
5(x+1)(x+1)(x+3)4
ex>0であるから y>0
よい。
(5) y'= (e3
y=2(x+3)
+y'= −2 (x+3)
2.
25
(x+1)
x+4
X (x+1)(x-l
x+4
(x+1) f(x)
3e3
3x
POINTER
よって, 両辺の自然対数をとると
logy=(x+1)logx
両辺をxで微分すると
y
y = 1.logx+(x+1). 1 = 10gx+1+
1
+(fg)'=f'g+f
えに y= (logx+
1
x
+1mx+1
XC
XC
CTICE 582
個数を微
PRACTICE
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