"2
重要 例題 40=f(n) an-1型の漸化式
a1=
2'
(n+1)an=(n-1) an-1 (n≧2) によって定められる数列{an} の一般項
00000
を求めよ。
[類 東京学芸大
指針 与えられた漸化式を変形すると
an=
n-1
n+1
-an-1
これは p.471 基本例題39に似ているが,おき換えを使わずに,次の方針で解ける。
〔方針1] an=f(n) an-1と変形すると
これを繰り返すと
an=f(n){f(n-1)an-2}
an=f(n)f(n-1)...... f(2)a₁
よって,f(n)f(n-1)(2)はnの式であるから, an
る。この形に変形できれば
[方針2〕 漸化式をうまく変形して g(n)an=g(n-1)an-1 の形にできないかを考え
g(n)an=g(n-1)an-1=g(n-2)an-2=.....=g(1)a
が求められる。
まと
代表的な
① 等差
②等比
3階
ant
an
であるから, an =
g(1)a
g(n)
として求められる。
(S+α) (I+s)
解答 1. 漸化式を変形して
(S)
解答
n-1
an=
n+1
an-1 (n≥2)
n-1
Pan
an-1
n+1
n-1 n-2
ゆえに
an=
•
n+1 n
an-2 (n≥3)
(+) (+)
n-1 n-2
.
n+1 n
n-1 n-2
an-2
これを繰り返して
n-1.n-2n-3321
n+1 n
an=
•
.
n-3
n+1 n
n1 5 4 3 a1
an-3
n-1
2.1
よって
109
an=
(n+1)n 2
すなわち an=
1
n(n+1)
①
n=1のとき
11+1)=1/2
1.(1+1)
12
a₁ =
2
であるから,①はn=1のときも成り立つ。
解答 2. 漸化式の両辺に n を掛けると
よって
したがって
+1)nan=n(n-1)an(≧2)
(n+1)nan=n(n-1) an-1=......=2・1・α=1
an= n(n+1)
これは n=1のときも成り立つ。
nを掛ける。
n+1とn-1の間にあ
数列{(n+1)nan} は, す
べての項が等しい。
a
D
5
