Question

しょうゆ

数IIの複素数の問題なのですが、(2)の時はなぜ実数解が0なのですか？

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第2章 複素数と方程式
問
17 解の判別 (I)
次のæについての方程式の解を判別せよ. ただし, は実数と
する。
(1)
精講
2-4.x+k=0
(2) kx²-4x+k=0
について考えて、分類して答えよ」 という意味です.ということは
「解を判別せよ」 とは, 「解の種類 (実数解か虚数解か)と解の個数
(1) (2) 2次方程式だから, 判別式を使えばよい!!」 と思いたくな
るのですが、はたして……………
解答
D=4-k だから,
(1)-4x+k=0 の判別式をDとすると, 1/24=4-
この方程式の解は次のように分類できる.
<D <0
(i) 4-k< 0 すなわち, k>4のとき
D<0だから, 虚数解を2個もつ
(Ⅱ)
4-k=0 すなわち, k=4のとき
D=0 だから, 重解をもつ
() 4-k>0 すなわち, k <4のとき
D> 0 だから, 異なる2つの実数解をもつ
(i)~ (Ⅲ)より,
k>4 のとき, 虚数解 2個
h=4 のとき,重解
D=0
<D>O
<4 のとき,異なる2つの実数解
(2) (ア)k=0 のとき
与えられた方程式は4x=0
(イ) k=0のとき
x=0
kx²-4x+k=0 の判別式をDとすると
D=4k だからこの方程式の解は
4
k=0 のときは1次
方程式なので判別式
は使えない

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次のように分類できる.
(i) 4-k0 すなわち, k<2,2<kのとき
D<0だから, 虚数解を2個もつ
(ii) 4-k=0 すなわち, k=±2 のとき
D=0 だから重解をもつ
(4k0 すなわち, -2<k < 2 のとき
D0 だから、 異なる2つの実数解をもつ
(ア)(イ)より、
k=0 のとき, 実数解 1個
k<-2,2<kのとき, 虚数解2個
k=±2 のとき,重解
-2<k<0,0<k<2のとき, 異なる2つの実数解
注(2)のk=0 の場合と k=±2 の場合は,いずれも実数解を1個もっ
ているという意味では同じように思うかもしれませんが, 2次方程式
重解は活字を見てもわかるように元来2個あるものが重なった状態
を指し,1次方程式の解は、元来1個しかないのです。だから,答案に
は区別して書かないといけません. 仮に, 「k-4x+k=0 が異なる
「解をもつ」 となっていたら 「k≠0 かつ D=0」 となります.
問題文の1行目をよく読んでください.
参考
「次のxについての方程式・・・・・・」 とあります. 「次のxにつ
いての2次方程式･･････」とは書いてありません。 よって, (2)
の方程式は k=0 となる可能性が残されているのです. だから,「次
のxについての2次方程式」 となっていたら, すでに「k=0」が
前提になっていることになり、解答の (ア) は不要となります。
ポイント 判別式は2次方程式でなければ使えないので,の係
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数が文字のときは要注意
を実数とするとき、次の2次方程式の解を判別せよ.
(2) kr²-2kr+2k+1=0
L2. 0