Question

淳華

解説お願いします。
黄色マーカーの式の分母のpはピンクマーカーの式では0.2になっているのに分子のpはpのままなのはなぜですか？
また、黄色マーカーの式のRはピンクマーカーの式ではどこにいったのですか？
教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

数学II, 数学 B 数学C
(2)400人のアンケート結果を集計したところ, SのCMを見たことがある」と
答えた人は80人であった。 このデータから,母比率を信頼度95%で推定し
よう。
標本比率 R=
X
400
の平均(期待値)と分散はそれぞれ
01
512点
E(R)= ソ 'V(R)= タ
であり,Rは近似的に正規分布 N
ソ
タ に従うとみなすことが
できる。
よって, p に対する信頼度 95%の信頼区間は
0. チツテ≦p≦0. トナニ
である。
ソ
の解答群
10p
(2)
20p
p
③ 40p
④ 100p
⑤ 200p
の解答群
p(1-p)
①
p(1-p)
10
10
②
√p(1 - p)
20
p(1-p)
20
④
✓p(l-p)
⑤
p(1-p)
400
400
(数学II, 数学B, 数学C第5問は25ページに続く。)

(2) R=
X
400
より,
1
1
E(R)=
=
·E(X)
・・400p
400
400
=P
1
V(R)= ・V(X)= ・400p(1-p)
1
4002
4002
p(1-p)
… 5
・タ
400
であり,Rは正規分布 N (p,
p(1-p)
に従うとみ
400
R-p
なせる。よって, Z=
は N(0, 1) に従
p(1-p)
400
うとみなせ,p に対する信頼度 95%の信頼区間は,
0.2×0.8
0.2×0.8
0.2-1.96
p≦0.2 + 1.96
400
400
0.2-1.96×0.02≦p≦0.2+1.96×0.02
0.2-0.0392≦p≦0.2+0.0392
0.1608≦p ≦ 0.2392
すなわち.
0.161≦p≦0.239
である。
･･チ~ニ

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

GDO

少し説明長くなりますが、以下の通りです。
最後に記載した結論だけ確認してもよいです。

R=(X1+･･･+Xn)/n　･･･　（X1,…,Xnは確率変数）
Z=R-p/√{p(1-p)/n}　としたとき、
Zの分布は正規分布に従う（近似できる）ので以下のように変形でます。
P(-1.96≦Z≦1.96)=0.95
⇔P(R-1.96√{p(1-p)/n}≦p≦R+1.96√{p(1-p)/n})=0.95

標本平均(標本比率)　r=(x1+･･･xn)/n
P(r-1.96√{p(1-p)/n}≦p≦r+1.96√{p(1-p)/n})=0.95
であるが、pは未知なので、rで代用すると(普通は問題文等に記載がある)
P(r-1.96√{r(1-r)/n}≦p≦r+1.96√{r(1-r)/n})=0.95…※
ということを行っています。
（注意）rで代用すると厳密には正規分布ではないのですが、高校数学で習わないので簡便的に代用しています。
おそらく教科書に詳細の説明はないけれど何か記載があると思います。

※の式に r(標本平均：標本比率)=0.2を代入するとピンクマーカーの式になります。

■結論（まとめ）
黄色のマーカーはpが既知の時の場合の式です。
pが未知なのでピンクマーカーでは、分母(標準偏差)のpはr(標本平均)で代用しています。
（標本平均の標準偏差の推定値で代用）

GDO

ご参考：
ちょうどよい部分がありました。該当部分の切り抜き画像です。
https://www.hiroshima-u.ac.jp/system/files/148636/ASstatistics_2019_1.pdf

GDO

たくさんコメントしてごめんなさい。簡単に説明すると以下のとおりです。

一般的に、２項分布を正規分布で近似して利用する場合は
N(np,np(1-p))、またはN(p,p(1-p)/n)とするので、
平均を決めたら(推定したら)、分散も決まると考えてよいです。
（入試問題の場合は、何かしら記載があります）

淳華

理解出来ました！
とても丁寧で分かりやすい説明ありがとうございます！