解説お願いします。

Mathematics

高中

已解決

17天以前

解説お願いします。
黄色マーカーの式の分母のpはピンクマーカーの式では0.2になっているのに分子のpはpのままなのはなぜですか？
また、黄色マーカーの式のRはピンクマーカーの式ではどこにいったのですか？
教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

数学II, 数学 B 数学C (2)400人のアンケート結果を集計したところ, SのCMを見たことがある」と答えた人は80人であった。このデータから,母比率を信頼度95%で推定しよう。標本比率 R= X 400 の平均(期待値)と分散はそれぞれ 01 512点 E(R)= ソ 'V(R)= タであり,Rは近似的に正規分布 N ソタに従うとみなすことができる。よって, p に対する信頼度 95%の信頼区間は 0. チツテ≦p≦0. トナニである。ソの解答群 10p (2) 20p p ③ 40p ④ 100p ⑤ 200p の解答群 p(1-p) ① p(1-p) 10 10 ② √p(1 - p) 20 p(1-p) 20 ④ ✓p(l-p) ⑤ p(1-p) 400 400 (数学II, 数学B, 数学C第5問は25ページに続く。)

(2) R= X 400 より, 1 1 E(R)= = ·E(X) ・・400p 400 400 =P 1 V(R)= ・V(X)= ・400p(1-p) 1 4002 4002 p(1-p) … 5 ・タ 400 であり,Rは正規分布 N (p, p(1-p) に従うとみ 400 R-p なせる。よって, Z= は N(0, 1) に従 p(1-p) 400 うとみなせ,p に対する信頼度 95%の信頼区間は, 0.2×0.8 0.2×0.8 0.2-1.96 p≦0.2 + 1.96 400 400 0.2-1.96×0.02≦p≦0.2+1.96×0.02 0.2-0.0392≦p≦0.2+0.0392 0.1608≦p ≦ 0.2392 すなわち. 0.161≦p≦0.239 である。･･チ~ニ

解答

✨ 最佳解答 ✨

GDO

16天以前

少し説明長くなりますが、以下の通りです。
最後に記載した結論だけ確認してもよいです。

R=(X1+･･･+Xn)/n　･･･　（X1,…,Xnは確率変数）
Z=R-p/√{p(1-p)/n}　としたとき、
Zの分布は正規分布に従う（近似できる）ので以下のように変形でます。
P(-1.96≦Z≦1.96)=0.95
⇔P(R-1.96√{p(1-p)/n}≦p≦R+1.96√{p(1-p)/n})=0.95

標本平均(標本比率)　r=(x1+･･･xn)/n
P(r-1.96√{p(1-p)/n}≦p≦r+1.96√{p(1-p)/n})=0.95
であるが、pは未知なので、rで代用すると(普通は問題文等に記載がある)
P(r-1.96√{r(1-r)/n}≦p≦r+1.96√{r(1-r)/n})=0.95…※
ということを行っています。
（注意）rで代用すると厳密には正規分布ではないのですが、高校数学で習わないので簡便的に代用しています。
おそらく教科書に詳細の説明はないけれど何か記載があると思います。

※の式に r(標本平均：標本比率)=0.2を代入するとピンクマーカーの式になります。

■結論（まとめ）
黄色のマーカーはpが既知の時の場合の式です。
pが未知なのでピンクマーカーでは、分母(標準偏差)のpはr(標本平均)で代用しています。
（標本平均の標準偏差の推定値で代用）