Question

haru

(2)がわかりません　特に鉛筆で記したところの意味がわかりません
よろしくお願いします！

解答欄
3
整数からなる数列{an} を漸化式
| a1=1, a2=3
an+2=3an+1-7an (n=1, 2, ...)
によって定める。
(1) α が偶数となることと, nが3の倍数となることは同値であることを示せ。
(2) α 10 の倍数となるための条件を(1)と同様の形式で求めよ。
('93 東京大 理系)

解答
(1) 与えられた化式
=7cm(n=1,2,.........
①
をくり返し用いると、
”が偶数” を示すことが
目標
=-70g+l...
= 3(3x-70.)-7a+
=24-210
=2(0-1-110)+am
が得られる。この数列は整数からなることも考えると、任意の自然
に対して、
は一致する
2つの整数a,bについて,
abが偶数
すなわち、
はについて周期3でくり返す
ことがわかる。
ここで、
a₁ = 1, a = 3, as=3as-7a₁ = 2
であるから、 Q3.as, as,
奇数。
は偶数、かつ、as, ac, ay,··以外は
すなわち、
αが偶数が3の倍数
である。
(2)2と5は互いに素だから、
10の倍数
である。
(証明終わり)
...... ③
が偶数かつ5の倍数
①と (1) の計算結果を用いて、
ax+4=
34 +374+2
= 3(2a+1-21an)-7(3a+1-7an)
=-150 +1 -14
=5(-3a+1-3an) + an
となるから、任意の自然数nに対して、
とを5で割った余りは等しい
すなわち、
4mを5で割った余りは、nについて周期4でくり返す
ことがわかる。
ここで.
a₁ = 1, as = 3, as = 2, a₁ = -15
であるから,
が5の倍数が4の倍数 ......④
α, bの偶奇は一致
が5の倍数”となるk
を探すのが目標。
具体的に計算してみると
a=1.2=3. Q.= 2. a=15.
as=-59, as=-72
であるから, 5で割った余りが4項
ごとにくり返すことがわかる。
なお
-59=5×(-12)+1
-72=5×(-15)+3
より59.72 を5で割った余りは、
である。
3と4は互いに素であるから、 ②
③ ④より、求める条件は、
それぞれ13となる。
が12の倍数となること
......(答)
である。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

GDO

aₙ₊₄=5(-3aₙ₊₁-3aₙ)+aₙ　であるから、
aₙ₊₄ - aₙ=5i（iは整数）になっている

ということは、
aₙ₊₄ =5n+j（n,jは整数）
aₙ =5m+j（m,jは整数）
であることがわかる ･･･ aₙ₊₄ - aₙ=5(n-m)=5i

aₙ₊₄=5(-3aₙ₊₁-3aₙ)+aₙの式は、
aₙ₊₄とaₙは5で割ると余りは等しいことを意味している

haru

ありがとうございます
よくわかりました！