18
基本 例題 67
最大
座標平面上で,点Pは原点Oを出発して, x軸上を毎秒1の速さで点 (6,0
0まで進む。この間にP, Q間の距離が最小となるのは出発してから何秒後
まで進み,点Qは点Pと同時に点 ( 0, -6) を出発して,毎秒1の速さで原点
か。また,その最小の距離を求めよ。
CHART & SOLUTION
基本
t秒後のP, Q間の距離をd とすると,三平方の定理からd=f(t) の形になる。ここで
f(x)の最大・最小 平方したf(x) の最大・最小を考える
d0 であるから,d=f(t)が最小のときdも最小となる。
解答
0≤1≤6
出発してからt秒後のP, Q 間の距
離をdとする。 P, Qは6秒後にそ
れぞれ点 (6,0), (0, 0)に達するか
・①
ら
YA
6
x
このとき, OP=t, OQ=6-t であ
るから,三平方の定理により
d2=12+(6-t)2
=2t2-12t+36
=2(t-3)2+18
tのとりうる値の範囲。
点Qのy座標は t-6
基本形に変形。
① において, d は t=3 で最小値18 をとる。
d0 であるから,dが最小となるときdも最小となる。
よって, 3秒後にP,Q間の距離は最小になり,最小の距離は
√18=3√2
軸t=3は①の範囲内。
この断りは重要!
INFORMATION
dの大小はdの大小から
例題では,d=√2+62 の根号内の a2+62 を取り出して
まずその最小値を求めている。 これはd>0でd が変化す
るなら, dが最小のときも最小になるからである。
右のグラフから,
大B2
(x≥0)
d²
A2
A≥0, B≥0, d≥0 * Ad≤B A²≤d²≤B²
つまり,d≧0 のときdの大小はdの大小と一致する。
0
Ad B
X
小 大
