Mathematics
高中
已解決
数2です。定数a>1において、3次不等式x³-(a+4)x²+(4a+3)x-3a≦0を解け。という問題です。ここで場合分けをしてからは理解できるのですが、なぜ場合分けを1<a<3,a=3,3<aのように決めることができるのかが疑問です。どういう思考プロセスで考えているのかを知りたいです。
解答 P(x)=x-(a+4)x2+(4a+3)x-3a とおくと,
P(1)=0, P(3)=0 であるから,P(x)はx-1, x-3を因数
にもち,P(x)=(x-1)(x-3)(x-α) を得る.
(i) 1<a<3 のとき
P(x)=(x-1)(x-3)(x-α)
の正負はxの値に応じて右の
表のようになる.
x
x-1
x-a
-
x-3
1・・・ α ・・・ 3
0 + + + + +
0||||
[ - 0 + + +
-
0 +
P(x) 0 + 0 - 0 +
よって, 不等式の解は,
x≦1, a≦x≦3
(ii) α=3 のとき
P(x)=(x-1)(x-3) となり,(x-3)2≧0 であるから,
(x-1)(x-3)2≦0 の解は,
x≦1, x=3
(iii) 3 <αのとき
(i)と同様に,P(x) の正負は
x
1・・・ 3... α
xの値に応じて右の表のよう
x-1
x-3
-
0 + + + + +
0+ + +
になる.
x-a
-
0 +
よって, 不等式の解は,
x≦1, 3≦x≦a
P(x)
20 + 0 -
0 +
(i), (ii), (i)より, 求める解は,
1 <a<3 のとき, x≦1, a≦x≦3
a=3 のとき,
x≦1, x=3
3<a のとき, x≦1, 3≦x≦a
解答
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ありがとうございます!次からこの手の問題を解くことが出来そうです!