Question

azure

数2です。定数a＞1において、3次不等式x³-(a+4)x²+(4a+3)x-3a≦0を解け。という問題です。ここで場合分けをしてからは理解できるのですが、なぜ場合分けを1<a<3,a=3,3<aのように決めることができるのかが疑問です。どういう思考プロセスで考えているのかを知りたいです。

解答 P(x)=x-(a+4)x2+(4a+3)x-3a とおくと,
P(1)=0, P(3)=0 であるから,P(x)はx-1, x-3を因数
にもち,P(x)=(x-1)(x-3)(x-α) を得る.
(i) 1<a<3 のとき
P(x)=(x-1)(x-3)(x-α)
の正負はxの値に応じて右の
表のようになる.
x
x-1
x-a
-
x-3
1･･･ α ･･･ 3
0 + + + + +
0||||
[ - 0 + + +
-
0 +
P(x) 0 + 0 - 0 +
よって, 不等式の解は,
x≦1, a≦x≦3
(ii) α=3 のとき
P(x)=(x-1)(x-3) となり,(x-3)2≧0 であるから,
(x-1)(x-3)2≦0 の解は,
x≦1, x=3
(iii) 3 <αのとき
(i)と同様に,P(x) の正負は
x
1･･･ 3... α
xの値に応じて右の表のよう
x-1
x-3
-
0 + + + + +
0+ + +
になる.
x-a
-
0 +
よって, 不等式の解は,
x≦1, 3≦x≦a
P(x)
20 + 0 -
0 +
(i), (ii), (i)より, 求める解は,
1 <a<3 のとき, x≦1, a≦x≦3
a=3 のとき,
x≦1, x=3
3<a のとき, x≦1, 3≦x≦a

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

YU

与式が回答のように因数分解できるところまでは理解されてると思うのですが、P(x)=0の解が1,3,aの三つなのでaの大小関係によって求める不等式の範囲が変わってしまうので、答えのように場合分けをします。

azure

ありがとうございます！次からこの手の問題を解くことが出来そうです！