Question

キト

駿台模試の数学で、対数の問題です。
どうして(3)が誤答になっているのか分かりません。
採点講評を見ると、①を示して8点、②を示して8点、結果に4点となっているようなので、式変形の唐突さだけで-16点となっているとは考えにくいと思っています。
画像は準に問題、答案、解答です。回答よろしくお願いします。

【3】 A=10g102 とする. 次の問いに答えよ. ただし, 近似値を用いてはならない.
(1)10g105, logs4をAを用いて表せ.
(2) A > を示せ.
3
10
(3)10gs4とlog75の大小を調べよ.
10g102 >
logiu 2

【3】
(11 logro
=
=
=
5
Togo (10)
= 1-logio2
= 1-A
Toys 4
logio 4
Togio 5
2logio
1-A
=
2A
1-A
++
ここで、1071.2>1より A70,
49
3A² +Alogio 40
(1-A7logio)
ゆえに
4971+1 login 49 470.
57181 1-A = logio 5>0.
7> より 10g107> [だから,]
> O
logs 4-log7570
logs4 >log75
(2)
3
++
3
A- 1/10 = log. 2 - 17/17
=
0
10
(10log102-3)
(logi 21° - logio 10³)
(logio
ここで、1071.
To (lugio
1000
1024
1024
1024
1000
)
1100071,1117だから、
<<>
(31
ゆえに、
A-33070
++
logs 4-logy 5
2A
=
=
=
1-A
logo 5
Togro 7
2A (logo) (1-A)²
(-A)log7
2A(1022) - 1+A2
(KA)17
2A(A+logio) - 1+A2
(-A) logie 7
7
3A2-1 + 2A lugio 1/2
(1-A)logio)
49
3A² +Alogio 40
(1-A)logio 7

考え方
【3】 A=logio 2 とする. 次の問いに答えよ. ただし, 近似値を用いてはならない。
log10 5. logs 4をAを用いて表せ.
(1)
(2)
3
A>
を示せ
(3) logs4とlog 5の大小を調べよ.
である.
①.②よりlog:5
<logs4 であるから
logs 4 >log 5
(答)
(40点)
である.
解説 5°(別
解説
Llogs 4 = 0.86
(1) 対数の性質と底の変換公式を用いて変形しましょう。
(2) Aとを比較するために 104と3を比較します。 底をそろえて真数を比較しましょう。
(3)まず。(1),(2)を用いてlog.4の値を評価し、その後、評価した値と、10g;5の大小を比較してみましょう。大
調べるときは、2数の差を考えてその符号を判定するとよいでしょう。
1° 対数の基本事項
a0a=1,M0.N0 とし,rは実数とする。
(i) 実数について次のことが成立する。
(i)
a² = M
logaa'=r
(i) aloga M = M
⇔p=log.M
(iv) loga MN = loga M + log N
【解答】
(1) 対数の性質より
解説 1°対数の基本事項
M
(v) logo N
= loga M-log N
log 10 5 = log 10 = log 10 10- log 10 2=1-A
(答)
である. これと底の変換公式より
解説 2°底の変換公式
logs4 = log105
10g 10.4
10g10 22
log 10 5
=
2log 102
log 105
2A
(答)
1-A
である.
(2) 10A1010g 210g 10 2 であり, 3log 10 である.ここで
log.b
logab=
logca
(vi) logaM'=rloga M
2° 底の変換公式
a0a≠1,60.c>0,c≠1 とする.このとき 次が成り立つ。
21=1024,10=1000
であり, 10は1より大きいから
← 解説 3° 対数関数の性質
10g10 2010g10 10 すなわち 10A>3
が成り立つ. よって, A > 1 である.
(証明終わり)
1-x
(3) f(x)=12 とすると,(1)よりf(4)=- 1-A
=124=logs4である.0<x<1
するので. f(x) は単調に増加する. よって,A>
において, 2x 0.1-x>0であり、 2xは単調に増加, 1-xは単調に減少
より
log101<log10 210g10 10 より
3° 対数関数の性質
y=logx(x>0) はa>1であれば増加関数であり.0<a<1であれば減
少関数である. よって,正の実数 A,Bに対し, 次が成り立つ。
(1) α>1のとき
である.
loga A <loga B ⇔ A<B
(Ⅱ) 0<a<1のとき
logaA>log B⇔ A<B
0<A<1である.
である.
3
2.
logs4=f(A)> (2)
10
=
10
3
y↑
1-
(I)
y=logx
(II)
10
logoB
であるから
logoA
A
*
logs 4>
0
1 A
B
0
1
である.
←解説 14° (別解)
logoA
logaBe
y = log. x
また
log75-
=
7log 5-6 log:57 - log776
7
7
← ①がわかったので, 10g75と
4° ① は次のように変形して導くこともできる。
(別解
であり,5778125,7117649 であるから, log75' <log77である。 よっ
の大小を比較する。
log: 5-<0
すなわち
6
log75 <
7
(1)(2)より
logs4=
2A
1-A
-2(1-A)+2
1-A
2
=2+1-A
2
20
6
>-2+-
=-2+
=
1-3
10
7
である.
......2
- ② 理数 11-
log7 50.82･･･
(i)は対数の定

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

かき

赤三角が付いたところの分子、- (1-A)²の展開が -1+A² となってますが、ここを間違えてませんか？

キト

ありがとうございます！確かに間違えています。本当に助かりました！

Answer 2

BaSO4

ここの変形はどうやってますか？
Aがあるため単純に
logM+logN=logMNとはならないように思います。

キト

ありがとうございます。確かに、そうすると他の点を加えると結構突っ込みどころの多い答案になりますね。
解決済みにするために速かった方にベストアンサーを送りましたが、同じくらいベストアンサーだと思っています。本当にありがとうございます！