Mathematics
高中
已解決
駿台模試の数学で、対数の問題です。
どうして(3)が誤答になっているのか分かりません。
採点講評を見ると、①を示して8点、②を示して8点、結果に4点となっているようなので、式変形の唐突さだけで-16点となっているとは考えにくいと思っています。
画像は準に問題、答案、解答です。回答よろしくお願いします。
【3】 A=10g102 とする. 次の問いに答えよ. ただし, 近似値を用いてはならない.
(1)10g105, logs4をAを用いて表せ.
(2) A > を示せ.
3
10
(3)10gs4とlog75の大小を調べよ.
10g102 >
logiu 2
【3】
(11 logro
=
=
=
5
Togo (10)
= 1-logio2
= 1-A
Toys 4
logio 4
Togio 5
2logio
1-A
=
2A
1-A
++
ここで、1071.2>1より A70,
49
3A² +Alogio 40
(1-A7logio)
ゆえに
4971+1 login 49 470.
57181 1-A = logio 5>0.
7> より 10g107> [だから,]
> O
logs 4-log7570
logs4 >log75
(2)
3
++
3
A- 1/10 = log. 2 - 17/17
=
0
10
(10log102-3)
(logi 21° - logio 10³)
(logio
ここで、1071.
To (lugio
1000
1024
1024
1024
1000
)
1100071,1117だから、
<<>
(31
ゆえに、
A-33070
++
logs 4-logy 5
2A
=
=
=
1-A
logo 5
Togro 7
2A (logo) (1-A)²
(-A)log7
2A(1022) - 1+A2
(KA)17
2A(A+logio) - 1+A2
(-A) logie 7
7
3A2-1 + 2A lugio 1/2
(1-A)logio)
49
3A² +Alogio 40
(1-A)logio 7
考え方
【3】 A=logio 2 とする. 次の問いに答えよ. ただし, 近似値を用いてはならない。
log10 5. logs 4をAを用いて表せ.
(1)
(2)
3
A>
を示せ
(3) logs4とlog 5の大小を調べよ.
である.
①.②よりlog:5
<logs4 であるから
logs 4 >log 5
(答)
(40点)
である.
解説 5°(別
解説
Llogs 4 = 0.86
(1) 対数の性質と底の変換公式を用いて変形しましょう。
(2) Aとを比較するために 104と3を比較します。 底をそろえて真数を比較しましょう。
(3)まず。(1),(2)を用いてlog.4の値を評価し、その後、評価した値と、10g;5の大小を比較してみましょう。大
調べるときは、2数の差を考えてその符号を判定するとよいでしょう。
1° 対数の基本事項
a0a=1,M0.N0 とし,rは実数とする。
(i) 実数について次のことが成立する。
(i)
a² = M
logaa'=r
(i) aloga M = M
⇔p=log.M
(iv) loga MN = loga M + log N
【解答】
(1) 対数の性質より
解説 1°対数の基本事項
M
(v) logo N
= loga M-log N
log 10 5 = log 10 = log 10 10- log 10 2=1-A
(答)
である. これと底の変換公式より
解説 2°底の変換公式
logs4 = log105
10g 10.4
10g10 22
log 10 5
=
2log 102
log 105
2A
(答)
1-A
である.
(2) 10A1010g 210g 10 2 であり, 3log 10 である.ここで
log.b
logab=
logca
(vi) logaM'=rloga M
2° 底の変換公式
a0a≠1,60.c>0,c≠1 とする.このとき 次が成り立つ。
21=1024,10=1000
であり, 10は1より大きいから
← 解説 3° 対数関数の性質
10g10 2010g10 10 すなわち 10A>3
が成り立つ. よって, A > 1 である.
(証明終わり)
1-x
(3) f(x)=12 とすると,(1)よりf(4)=- 1-A
=124=logs4である.0<x<1
するので. f(x) は単調に増加する. よって,A>
において, 2x 0.1-x>0であり、 2xは単調に増加, 1-xは単調に減少
より
log101<log10 210g10 10 より
3° 対数関数の性質
y=logx(x>0) はa>1であれば増加関数であり.0<a<1であれば減
少関数である. よって,正の実数 A,Bに対し, 次が成り立つ。
(1) α>1のとき
である.
loga A <loga B ⇔ A<B
(Ⅱ) 0<a<1のとき
logaA>log B⇔ A<B
0<A<1である.
である.
3
2.
logs4=f(A)> (2)
10
=
10
3
y↑
1-
(I)
y=logx
(II)
10
logoB
であるから
logoA
A
*
logs 4>
0
1 A
B
0
1
である.
←解説 14° (別解)
logoA
logaBe
y = log. x
また
log75-
=
7log 5-6 log:57 - log776
7
7
← ①がわかったので, 10g75と
4° ① は次のように変形して導くこともできる。
(別解
であり,5778125,7117649 であるから, log75' <log77である。 よっ
の大小を比較する。
log: 5-<0
すなわち
6
log75 <
7
(1)(2)より
logs4=
2A
1-A
-2(1-A)+2
1-A
2
=2+1-A
2
20
6
>-2+-
=-2+
=
1-3
10
7
である.
......2
- ② 理数 11-
log7 50.82・・・
(i)は対数の定
解答
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ありがとうございます!確かに間違えています。本当に助かりました!