Question

らむね

379の、最小値を求める方法が分からないです💦
教えてください！！

] 379 関数 y=10g/x+10g/(6-x) の最小値を求めよ。
例題 37 a0b>0 のとき,不等式 10g10 a+blog10a+
2

<x<2/243x
ら
x+2>0
-1
よって,yはx=13
>x
(2)
最大値はない。
-で最小値-1 をとる。また、
(2)y= (log24-log2x) (log2x-log22
=(2-log2x) (10gzx-1)
10gx=t とおくと
y=(2-f)(t-1)=-t2+3t-2
32
log 19=-2
底 1/3は1より小さい
から、このときは
最小で,最小値は
-x²+6x1
t
d
(2)
=-(1-2)²+1
小値 -2をとる。
よって,yはx=3で最
O
3 6
+3>2x+2
したがって,y1=1202で最大値 1/1
3
.1
をとる。
380 10g=(a+1/2)+10g2(6+1/2)
1
②
log2x=2
3
b+
■<x<1
ゆえに
log
=10g(a+1/2)(n+1)=10g(10+/+2)
ab
x=2√2
a>0, b>05
ab>0,
->0
ab
よ
3<2x+2
よって,yはx=2√2で最大値 -
1
1
最小値はない。
-をとる。また、
よって、相加平均と相乗平均の大小関係により
ゆ
(3)10gxt とおく。
ab+-
ab
1622 √ab. 1
≧2ab. =2
し
ab
1
よって
logs xの底3は1より大きいから, 1≦x≦27の
とき logo log3 x log3 27
1
ゆえに
ab+ +2≧4
y=
ab
底2は1より大きいから
①
log:(ab+1+2) ≥log24=2
-10≤2x-4
t=0のとき
-6≤0
--6)≤0
ゆえに
6
log3x=0
t=2のとき
また
y=t2-4t+3=(t-2)2-1
○2x-4> 0
① の範囲では
x>2
t=0で最大値3、
t=2で最小値 -1
をとる。
3
y=
01-Epis
すなわち 10gz(a+1/2)+10ga (b+1/2)=2
1
[参考] 不等式の等号はab= のとき成立する。
ab
よっ
ab>0であるから,このとき
ab=1
参考
0
381
x=1
3
t
(1)
log
■指針■■
2式を対数を用いずに表して解く。
(2) 2式を対数を用いて表して解く。
382
(1)
log3x=2
ゆえに
したがって,yは
x=9
[10g10 x + 10g10y=2
①
(1)
lx+y=25
-10≧2x4
-6)≥0
bmx
x=1で最大値3,x=9で最小値1をとる。
S
③
379 真数は正であるから
真数は正であるから
x>0かつy>0
よって
x>0 かつ 6-x > 0
0<x<6
①から
よって
......
また
00--
y=logyx(6-x)=logy(-x2+6x)
||=10g(x-3)2+9)
をとる。
①の範囲で(x-3)2 +9 は, x=3で最大値 9
をとる。
⑤ から
また,② から y=25-x
これを4に代入して
ゆえに x2-25x+100=0
これを解いて x=5,20
x=5のとき y=20,
10g10 xy=log10100
xy=100
④
30x5
0<
(1)
同
平
よっ
x (25-x)=100
すな

Answer 1

かき

解答のどのへんがわからないですか？

らむね

上に凸のグラフだから最大値を出せるのはわかるんですが、最小値をどうやって求めるのか分からないです💦

かき

なるほど。
対数関数のグラフを少し見てみた方がよいですね。
以下を参考に見てください。
https://www.try-it.jp/chapters-6817/sections-6855/lessons-6892/

底が1より小さいときは、真数が大きいほど、対数の値は小さいんです。
問題の場合、底が1/3 なので、真数 x(6-x) が最大のときに、対数の値が最小になります。

ちょとだけ考えてみてもらえますか？
それでもやっぱりわからなかったらまた連絡ください。