Question

星光

次の問題の青線のところで何故nを3kと考えるのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

(1) 複素数zz+
1
2
1
=
√3 を満たすとき,230 +
の値を求めよ。
30
2°
= {cs(土)+isin(1/2)}+{cos(土/1/1) +isin (土/03)}
3
= cos(± 2) + isin(± 2x) + cos(+ 2 =) + sin(2x)
2n
3
1
(2) 複素数zz+
Z
1
= -1 を満たすとき, w=z"+ の値を求め
z"
2n
2n
= COS -π±isin
よ。 ただし, n は整数とする。
(1) 230 +
(1)21-2+1)-
130
= z+
と考えるのは大変。
《ReAction 複素数の乗は、 極形式で表してド・モアブルの定理を用いよ
具体的に考える
例題55)
2+1/2=15より2-32+1=0 ⇒
極形式
2=
3
2n
3
= 2 cos π (複号同順)
(ア) n=3k (kは整数) のとき
w=2cos(2kz) =2
(イ) n=3k+1 (kは整数) のとき
w=2cos2kz+
31/37) =
= 2 cos
(ウ) n =3k+2 (kは整数) のとき
3
2n
2n
+cost π干isin -π
3
3
23
=-1
思考プロセス
1
解 (1) +
2
よって
2 =
=
√3 より z-√3z+1=0
√3+√√(3) -4・1・1
/3 1
2
土 i
2
2
= cos(土)+isin(±)(複号同順)
このとき, ドモアブルの定理により
w=2cos2kz+
4
1=2c08131
πC = -1
(ア)~(ウ)より, んを整数とすると
[2 (n=3k のとき)
(n=3k+1,3k+2 のとき)
w=
l-1
1
1
Z
z"
複素数z が z+ = k ... ① (kは実数) を満たすとする。
Point z+ =kのときの " + の値
2.30
= {cos(土)+isin(土)}
= cos (±5π) +isin (±5π) (複号同順)
=-1
=
ゆえに2/21
230
したがって
230 +
1
=
30
1-1=-2
1
2
よって
(2) 2+ =-1 より
-1±√3i
z+z+1=0
2 =
2
土
=
=cos (12/31) +isin (+12/28) (復号同順)
このとき, ドモアブルの定理により
w = 2" +
1
=z"+z
2
① より z-kz+1=0
この2解は互いに共役な複素数 z, zであるから, 解と係数の関係よ
よって |zl=1 すなわち |z=1
ゆえに, z=cosl+isin) とおくと
z"=cosno+isinn0
したがって
1
2"+ =2"+(2")-1
2"
=
=
(cosno+isinn0)+(cosn0+isinn0)
(cosn0+isinn0)+(cosn0-isinn0)
=2cosn0
2次方程式の解の公式を
用いてzの値を求める。
このことから,z" +
1
2"
はnの値に関わらず実数となることも分かる
YA
J3
2
1
2
練習 57 (1) 複素数zが z+ =
1
2 を満たすとき, ' +
2
2
1
(2)複素数zz+
/2 を満たすとき, w = z" +
2
1
12

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

はやち

nが3の倍数(3k)の時、分母の3が約分で消えるが、nが3の倍数でない時(3k±1)、分母の3が消えない。nのとり方によってcosの値も変化するため場合分けが必要というわけです

星光

なるほど！有り難うございます！