○ 整数 n は,
たときの余
基本 例題 124 割り算の余りの性質
000
a は整数とする。αを7で割ると3余り, 6を7で割ると4余る。このとき,
次の数を7で割った余りを求めよ。
(1)α+26
(2) ab
(3) α^
(4) a2021
p.536 基本事項 1,3
指針 前ページの基本事項の割り算の余りの性質を利用してもよいが,(1)~(3)は,
a=7k+3,b=71+4 と表して考える基本的な方針で解いてみる。
(3)(7k+3)を展開して、7×○+▲の形を導いてもよいが計算が面倒 d' = (42)2 に
着目し,まず,2を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。
(4) 割り算の余りの性質 4αをmで割った余りは,r” をmで割った余りに等しい
を利用すると,求める余りは「32021を7で割った余り」であるが,32021 の計算は不可
能。 このような場合,まず α” をmで割った余りが1となるnを見つけることか
ら始めるのがよい。
CHART 割り算の問題
A=BQ+R が基本
537
(割られる数) = (割る数)×(商)+(余り)
a=7k+3,6=7l+4(k, lは整数) と表される。
解答(1) α+26=7k+3+2(71+4)=7(k+2l)+3+8
IS+
bh=7(k+21+1)+4
したがって,求める余りは 4
=7(7kl+4k+3 +1) +5
7 を除法の原
と呼ぶこと
る。
-7.(-4)-2
ると,0≦x<b
(8+1
(2) ab=(7k+3)(71+4)=49kl+7(4k+3l)+12
(I+
したがって、求める余りは
5
Tour to a hely
かしいり
たさない。
のときa=bg
りαはもの倍
5.
bはαの約数で
Bk のとき, A
3の倍数。
n<b
ると
(3)²=(7k+3)2=49k²+42k+9=7(7k²+6k+1)+2
d2=7m+2(m は整数) と表されるから
Da=(a²)²=(7m+2)²=49m²+28m+4
したがって=7(7m²+4m)+4
したがって,求める余りは
今
AE)E=
(4)(3)より, αを7で割った余りが4であるから,7
で割った余りは, 4･3を7で割った余り5に等しい。
ゆえに,αを7で割った余りは5・3を7で割った余り
1に等しい。
α2021=(a)336.α5であるから, 求める余りは,1336.5=5
を7で割った余りに等しい。
したがって, 求める余りは
5
別解 割り算の余りの性質
を利用した解法。
(1)2を7で割った余りは
2(2=70+2) であるか
25を7で割った余
りは2･48を7で割っ
た余りに等しい。
ゆえに α+26を7で
割った余りは3+1=4を
7で割った余りに等しい。
よって、 求める余りは 4
(2) abを7で割った余り
は3･4=12を7で割った
余りに等しい。
よって、 求める余りは 5
(3)αを7で割った余り
は3=81 を7で割った
余りに等しい。
よって、 求める余りは 4
このとき
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