Mathematics
高中
已解決

33番です
解説を見てもよく分かりません、
教えてください🙇⋱

33次の() f(x)が逆関数をもてばそれを求め, 逆関数をもたなければその理由を述べよ。 (1) f(x)=x (2) f(x)=2x² (3) f(x)=1 (4) f(x)=2x3+3x2-12x +1 (X (B+x)) 第第3 (1)
解答編 数学Ⅲ TRIAL A・B、練習問題 [別解 ■指 針 関数とその逆関数とでは、定義域と値域が入 れかわることを利用して,aとbの値を求め る。ただし、求めた a,bの値は問題文の条件 を満たすための必要条件であるから,十分条 件でもあることを確認する。 y= ax-4 x+6 ......D, y= 3x+4 -x+2 ② とする。 ①の右辺を変形すると a(x+b)-ab-4 mil (TE (2)(2)=f(-2)=8 から, y=2x2は,yの値が1 つ決まるとき,それに対応してxの値がただ1 つに決まるとは限らない。 よって,f(x)=2x2は逆関数をもたない (3) 関数 y=f(x)はすべてのxに対して y=1をと るから,yの値が1つ決まるとき, それに対応し てxの値がただ1つに決まらない。 よって, f(x) =1は逆関数をもたない。 (4) y=2x3+3x2-12x +1 とする。 y=1のとき 1=2x3+3x2-12x+1 すなわち (2x2+3x-12) 0 ax-4 x+6 x+6 -ab-4 +α x+6 ゆえに -3± 105 ab-4=0 すなわち ab=-4のとき,①は定 数関数となり, 逆関数は存在しない。 x=0, 4 したがって,f(0)=- -3±√105 =1から, れ ③ ② の右辺を変形すると, 3x+4 10 20≠-4のとき、①の定義域と値域は,それぞ x-b, ya yの値が1つ決まるとき, それに対応してxの値 がただ1つに決まるとは限らない。 -x+2 -3 -x+2 であるから,②の定義域と値域は,それぞれ x=2, yキー 3 ...... ④ よって, f(x) =2x3+3x2-12x+1は逆関数をも たない。 " ①の逆関数が②であるとき,①の定義域と ② の値域は一致し、①の値域と②の定義域は一致 する。 参考 f'(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) mil(0) f'(x) =0 とすると f(x) の増減表は次のようになる。 x=1, -2 mil (a) よって, ③④から a=2, b=3 x ... -2 ... 1 ... これらは,abキー4 を満たす。 RS f'(x) + 0 0 逆にこのとき,①は+y= 2x-4 x+3 mil (A 極大 極小 f(x) ← y=- 2x-4 x+3 21 -6 を変形すると, x+3)=2x-4より 1 +01) mil (a) Jei mil (T) (y-2)x=-3y-4 mil (2) y≠2であるから -3y-4 x= y-2 よって、①の逆関数は -3x-4 y=- x-2 mil (a すなわち,y= 3x+4 x+2 となり,②と一致する。 よって, 関数 y=f(x) のグラフは,右の図のよ うになり,-6≦a≦21 のとき, 関数 y=f(x) の グラフと直線 y=aの共 有点は複数個となる。 J 21 y=a 0 1 -2-6 x したがって a=2, b=3 33 1指針■■ 値域内のyの値が1つ決まると,それに対応 してxの値がただ1つに決まるかどうかを調 べる。 y=2x3+3x2-12x+1 すなわち, -6≦y≦21 の範囲において, 関数 y=f(x)はyの値が1つ決まるとき, それに対 応してxの値がただ1つに決まらない。 したがって, f(x)=2x3+3x²-12x + 1 は逆関数 をもたない。 ( (1) y=f(x)は増加関数であるから,yの値が1つ 決まると,それに対応してxの値がただ1つに 決まる。 xとyを入れかえて y=x を xについて解くと よって、 求める逆関数は f-l(x)=x mil x=y y=x 940- (SL)

解答

✨ 最佳解答 ✨

関数とは、ある値xに対して、ただ1つの解を返すもののことです。なので、例えばyはxの関数であるとき、x=1を入れて、y=1,2,3,みたいに何個も解がでてくるものは関数とは言えません。厳密ではないですが、逆関数にするとxとyが逆になるので、逆にしたときに、値が何個もでてきてはいけません。なので関数が、y=a(aは定数)に関して、交点を2つ以上持つ。あるいは、一致するとき、その関数の逆関数は存在しません。論証するのでなければ、グラフ書いて横棒引きまくって、交点考えるか見れば逆関数が存在するかどうかは分かります。逆関数があるかどうかを理解するのには
関数がどういう定義なのかを軽く知っておかないと解けない気がします。

留言
您的問題解決了嗎?

看了這個問題的人
也有瀏覽這些問題喔😉