解答編
数学Ⅲ
TRIAL A・B、練習問題
[別解
■指 針
関数とその逆関数とでは、定義域と値域が入
れかわることを利用して,aとbの値を求め
る。ただし、求めた a,bの値は問題文の条件
を満たすための必要条件であるから,十分条
件でもあることを確認する。
y=
ax-4
x+6
......D, y=
3x+4
-x+2
②
とする。
①の右辺を変形すると
a(x+b)-ab-4 mil (TE
(2)(2)=f(-2)=8 から, y=2x2は,yの値が1
つ決まるとき,それに対応してxの値がただ1
つに決まるとは限らない。
よって,f(x)=2x2は逆関数をもたない
(3) 関数 y=f(x)はすべてのxに対して y=1をと
るから,yの値が1つ決まるとき, それに対応し
てxの値がただ1つに決まらない。
よって, f(x) =1は逆関数をもたない。
(4) y=2x3+3x2-12x +1 とする。
y=1のとき 1=2x3+3x2-12x+1
すなわち (2x2+3x-12) 0
ax-4
x+6
x+6
-ab-4
+α
x+6
ゆえに
-3± 105
ab-4=0 すなわち ab=-4のとき,①は定
数関数となり, 逆関数は存在しない。
x=0,
4
したがって,f(0)=-
-3±√105
=1から,
れ
③
② の右辺を変形すると,
3x+4
10
20≠-4のとき、①の定義域と値域は,それぞ
x-b, ya
yの値が1つ決まるとき, それに対応してxの値
がただ1つに決まるとは限らない。
-x+2
-3
-x+2
であるから,②の定義域と値域は,それぞれ
x=2, yキー 3 ...... ④
よって, f(x) =2x3+3x2-12x+1は逆関数をも
たない。
"
①の逆関数が②であるとき,①の定義域と ②
の値域は一致し、①の値域と②の定義域は一致
する。
参考 f'(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) mil(0)
f'(x) =0 とすると
f(x) の増減表は次のようになる。
x=1, -2
mil (a)
よって, ③④から a=2, b=3
x
...
-2
...
1
...
これらは,abキー4 を満たす。
RS
f'(x)
+ 0
0
逆にこのとき,①は+y=
2x-4
x+3
mil (A
極大
極小
f(x)
←
y=-
2x-4
x+3
21
-6
を変形すると, x+3)=2x-4より
1
+01) mil (a)
Jei
mil (T)
(y-2)x=-3y-4
mil (2)
y≠2であるから
-3y-4
x=
y-2
よって、①の逆関数は
-3x-4
y=-
x-2 mil (a
すなわち,y=
3x+4
x+2
となり,②と一致する。
よって, 関数 y=f(x)
のグラフは,右の図のよ
うになり,-6≦a≦21
のとき, 関数 y=f(x) の
グラフと直線 y=aの共
有点は複数個となる。
J
21
y=a
0 1
-2-6
x
したがって
a=2, b=3
33
1指針■■
値域内のyの値が1つ決まると,それに対応
してxの値がただ1つに決まるかどうかを調
べる。
y=2x3+3x2-12x+1
すなわち, -6≦y≦21 の範囲において, 関数
y=f(x)はyの値が1つ決まるとき, それに対
応してxの値がただ1つに決まらない。
したがって, f(x)=2x3+3x²-12x + 1 は逆関数
をもたない。
(
(1) y=f(x)は増加関数であるから,yの値が1つ
決まると,それに対応してxの値がただ1つに
決まる。
xとyを入れかえて
y=x を xについて解くと
よって、 求める逆関数は f-l(x)=x
mil
x=y
y=x
940- (SL)