Question

みみ

なぜn sinθ−sinnθ＞0がわかったのに単調増加を、調べなければいけないのか分からないので教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

238. <三角形の角と不等式〉
8 微分法の応用 63
れを2以上の自然数とする。三角形 ABC において,辺ABの長さを c,辺 CA の長さ
を表す。 ∠ACB=∠ABC であるとき, c<nb を示せ。
[20 大阪大・理系]

238 〈三角形の角と不等式〉
三角形の角度に関する条件から、辺の長さに関する不等式を示す。
⇒三角比を用いて、辺の長さを表す。
不等式 f(x)>0 を示すとき,y=f(x)の増減を調べる。
∠ABC = 0 とおくと
0>0 かつ 0+n0 <πより
∠ACB=no
◆3点A,B,Cが三角形を
なすためには
要であり、 △ABCの1つ
の内角の和が180より小
さくなることから、
0の
りうる値の範囲が定まる。
0<0<-
π
n+1
no
b
C
正弦定理により
sino
sinno
sinno
すなわち C=
-b
sin O
sinno
よって
nb-c=nb-
-b
nsino-sinneb
sin O
sino
ここで,00<<πであるから sin00
n+1
また 60
ゆえに,nsinsinn00 を示す。」
nは2以上の整数であるか
らくだ
n+1
また, 08より
n+1
ゆえに
coso-cosnd>0
π
f(0)=nsino-sinne (0<8 ) とおくと
ここで, nは2以上の自然数であるから
f'(8)=ncose-ncosnd=n(coso-cosne)
<n
nπ
0<n<-
n+1
すなわち
n
<1より
n+1
f'(0)>0
NT
n+1
よって, 08においてf(0) は単調に増加する。
n+1
また,f(0) = 0 であるから, 00-
π において
n+1
011-
f(0)>0
よって
nb-c>0
したがって c<nb
参考 nsin O-sinn0 >0の証明には数学的帰納法を用いることも
大
できる。
1'(x)=
よって
1"(x)
よつ
よ

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きぃ

よく日本語を読んでください。
まだ、真ん中の地点では、n sinθ−sinnθ＞0は示されていません。
n sinθ−sinnθ＞0を示せば、題意が示されると分かっただけです。

ですので、単調増加、かつ、左端が0以上を示さなければいけません。