Question

いと

集合と位相の問題です。
(4)-(6)が分かりません。
出来れば(1)-(3)も解説お願いします🙏

1. p を素数とする. 有理整数全体からなる集合に対して
x~y⇔x-y∈pZ:= {m|n∈Z}
という関係を定める.
(1)〜 はZ上の同値関係であることを証明せよ.
(2) 同値類 Z/~の完全代表系を一組求めよ (証明は不要).
(3) 以下の写像が well-defined であることを証明せよ.
Z/ ~ ×Z/ ~→ Z/ ~; ([x], [y]) ↔ [x] × [y] := [x × y].
(4) Z/~の [0] でない任意の元 [2] に対して, [x] × [g] = [1] となる [y] が
存在することを証明せよ.
X
(5)を正の整数として, [u] ∈ Z/~の”個の積を [u] := [u] x [a] xx []
と表すことにする. 実は,ある [g] ∈Z/~が存在して, [0] でない任意
の [a] ∈ Z / ~に対してr∈Z が存在し, [a] = [g] となることが知ら
れている.このg に対して, [g]P-1 [1] であることを証明せよ.また,
1≤r <p-1に対しては [g]" ≠ [1] となることを証明せよ.
(6)p-1∈4Z を満たす素数 p に対して, [x] = [-1] を満たすæ が存在す
ることを証明せよ. (ヒント: 「オイラーの規準」 で検索)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

sin theta

簡単にヒントを。
1: 同値関係の定義に基づいて示しましょう。
2: ここでの同値関係は「pで割った余りが等しい」と言い換えられます(差がpの倍数ということはpで割った余りが等しい)。よって整数をpで割った余りとして実現する整数によって完全代表系が作れます。
3: [x]=[x’], [y]=[y’] に対して [xy]=[x’y’]となることを示しましょう(ここでのwell-defined とは同値類の代表元の取り方によらず同値類の中で掛け算が定まるということ)。
4: 2 が使えます。同値類での積を不定方程式に落とし込みましょう。
5: gを法pにおける原始根と言います。pより小さい非負整数はpと互いに素なことを利用して考えてみましょう(フェルマーの小定理)
6: 5 を用いてオイラーの規準を示すことになります。