Question

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物奧初選質點運動學（平面運動），答案分別是arccos2/3和2.18，求詳解，謝謝

作業五:造景噴泉
五、如圖所示的公園造景,水池中鉛直豎立一水管,上方的管口位於一半徑
半球形塑膠棚
R=1.35m、表面光滑的半球
形塑膠棚的頂點,半球形塑膠
棚的下方平面距地面的高度
h = 2.10m。當水從管中向上
流,自管口湧出後,會沿著圓
弧面向下滑,流到水池中,形
成類似傘面的水簾幕。假設水
水池
圖九
R
水簾幕
與塑膠圓弧面之間的摩擦力可忽略,且水自圓弧面頂點向下流的初速為
零,則水在日= (1) 處脫離圓弧面,水簾幕在地面上形成的圓半徑為
(2) m。(設重力加速度g=10m/s²)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

脫離圓弧面之前
水做圓周運動
向心力=(垂直圓弧面方向的重力) - 正向力

脫離圓弧面時，正向力=0
向心力 F = mv²/R = mgcosθ
其中v²可以用力學能守恆計算：
½mv² + mg(h+Rcosθ) = mg(h+R)
⇒ ½mv² = mgR(1-cosθ)
⇒ mv² = 2mgR(1-cosθ)

因此
2mg(1-cosθ) = mgcosθ
2-2cosθ = cosθ
cosθ = 2/3
θ = arccos(2/3)

脫離圓弧面時，水的位置和運動狀態為：
(以水管底為坐標原點)
x坐標 = Rsinθ = (√5/3) R = 0.45√5 m
y坐標 = h + Rcosθ = h + (2/3)R = 3m
x方向速度 = v₀cosθ = (2/3)v₀
y方向速度 = -v₀sinθ = -(√5/3)v₀
其中脫離時速率 v₀ = √[2gR(1-cosθ)] = √[⅔gR] = 3m/s

⇒ x方向速度 = 2m/s；y方向速度 = -√5 m/s

至落地所花的時間 t
滿足 -3 = -√5t - 5t²
⇒ 5t² + √5t - 3 = 0
t = [-√5 ± √(5+60)]/10
t = [√65 - √5]/10

圓半徑 = 0.45√5 + 2 · [√65-√5]/10
= 0.45√5 + [√65-√5]/5
= 0.2√65 + 0.25√5
= 2.1714⋯ (m)

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