Question

SZN

数Aの図形の問題です。
73がわかりません。解説お願いします

PR△ABCの重心をGとするとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。
073
AB2+BC2 + CA²=3(AG2+BG2+CG2)
A
B
Aq
A
C
HINT 重心Gは3本の中線上にあるから,三角形の各頂点とGを結んだ線分の長さは,中線の長さ
2
倍である。
Jei
A
中線定理
の辺BCの中

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

問題はチャートだと思いますので、解説も載せて、どこまでわかってどこからわからないか、教えていただけますか。

SZN

故にの部分からわかりません。

きらうる

前ページの
2(AB²+BC²+CA²)＝
からつながってきていて、
＝9/2(AG²+BG²+CG²)+1/2(AB²+BC²+CA²)
になっているので、1/2(AB²+BC²+CA²)を移項して、
「ゆえに～」の式になっています。

Answer 2

GDO

余弦定理を使っった解答例
（見やすくするために、AB=c、BC=a、CA=bとします）

∠Aを使用した余弦定理は、
a²=c²+b²-2c・b・cosA　･･･①
また、BCを伸ばしたACとの交点Pは、BG:GP=2:1、AP: PC=1:1であるから、
(3/2・BG)²=c²+(b/2)²-2c・b/2・cosA　･･･②
(3/2・CG)²=(c/2)²+b²-2b/2・b・cosA　･･･③

以下の計算で、cosAを消去する
①-②×2：a²-9/2・BG²=3/2・b²-c² …④
①-③×2：a²-9/2・CG²=-b²+3/2・c² …⑤

④+⑤：整理すると、9(BG²+CG)²=4a²+b²+c² …(1)
同様に、∠B、∠Cも計算する
9(AG²+CG)²=4b²+a²+c² …(2)
9(AG²+BG)²=4c²+a²+b² …(3)

(1) +(2) +(3)
⇒ 18(AG²+BG²+CG²)=6(a²+b²+c²)
　 3(AG²+BG²+CG²)=a²+b²+c²

AB=c、BC=a、CA=bを書き換えると、
3(AG²+BG²+CG²)=AB²+BC²+CA²
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他の方法もあると思いますが、余弦定理を使って計算してみました。