Question

りの

(2)の問題が(1)と同じ答えになるかが分かりません
教えて頂きたいです。

2461から400 までの400個の自然数の積 N=1・2・3・・・400 について、
次の問いに答えよ。
(1) N を素因数分解したとき, 素因数5の個数を求めよ。
(2) N を計算すると, 末尾には 0 が連続して何個並ぶか。

(1)
1から400までの自然数のうち、
5の倍数の個数は
51,52,53,580 の 80個
52の倍数の個数は
51,522,523, 52.16 の 16個
53の倍数の個数は
51 52 53.3の3個
よって、素因数5の個数は全部で
80+ 16+3=99
(2)末尾に続く0の個数は, N=1･2･3••••••400
に含まれる因数10の個数であり、10は2.5と素
因数分解される。
1, 2, 3, 400 に含まれる素因数2の個数
は、明らかに素因数5の個数より多いから,因
数10の個数は素因数5の個数と一致する。
したがって,Nを計算すると、末尾には0が連
続して99個並ぶ。
[参考 1からnまでの自然数のうち、んの倍数の個
数は, nをんで割ったときの商である。
n
4
25

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ブドウくん

例えば、6!=1×2×3×4×5×6×7×8は40320で、末尾の0は1つです。1つ0があるのは10がかけられているから、すなわち2×5を素因数として持っているからです。8!の場合、4や6や8なんかは素因数として2を持っていますが、末尾の0を作るためには2と5がセットで必要であり、2だけが多くても10は作れません。1から2,3,...と掛け合わしていくとき、5の倍数より2の倍数の方が高頻度で現れるので、2×5のセットを作る際に2の方が足らなくなることはあり得ず、結果的に素因数5の数だけを数えれば良いということです。

ブドウくん

訂正
一番最初6!ではなく8!です。

りの

ありがとうございます！！