8 数列の極限 / 漸化式
とするとき,次の条件によって定められる数列{a}がある。
A
1+an
a1=cos
2'
an+1=
2
(n=1, 2, 3,.....)
(
(1) an=cOS が成り立つことを示せ.
(S)
2n
0
0
0
0
0
(2) 2”×sin-
Xcos
Xcos
× cos
X･･････ XcOS
= sin(n=1, 2, 3, .....)
2"
2
122
23
2n
が成り立つことを証明せよ.
....
(3) bm=axaz X as X Xan (n=1,2,3,......) とおく. 0≠0のとき, limb を0を用いて
87U
表せ.
(新潟大, 医歯)
半角の公式を連想する 本間は三角関数がらみである. そこで与えられた漸化式を三角関数の公式
1+cos
と関連させて眺めよう. すると, COS 2
の公式を連想するのは難しくはないだろう.
2
解答
(1) 数学的帰納法で示す. n=1のとき成り立つ.
n=kで成り立つとすると,
(1)
11/10(1+cosa)=cos2
cos²*
2
x2=|X|に注意して√を外
=
ak+1=
11/1/(1+(n)=1/2(1
0
1+cOS
=
Cos 2.
2k
2k+1
π
0
π
0
4
2k+1
であるから, cos
->0
.. ak+1=COS
4
2k+1
2k+1
す。
よって, n=k+1でも成り立つから,数学的帰納法により証明された.
(9
示すこと
これってn＝Kが成り立つとして、ｎ＝K＋1があるかつ、n＝1を先に成立させているこら、Kに入るのは1より大きい数という解釈でいいですかね？