Mathematics
高中
已解決
画像の問222.223が分かりません。解説ではどれもf(1)>0や、f(0)<0などを示しています。なぜそのような考え方になるのか本気で理解できません。
33 222 2次関数y=x2+2(m-1)x+3-mのグラフが次のようになるとき,定数m
の値の範囲を求めよ。
(1)x軸のx<1の部分と、異なる2点で交わる。
AAA (2)
(2) x 軸の正の部分と負の部分のそれぞれと交わる。
* 223 2次関数y=-x2-2mx-2m-3のグラフが次のようになるとき, 定数mの
値の範囲を求めよ。
☆(1)x軸のx-4の部分と、異なる2点で交わる。
(2)x軸のx-2の部分とx<-2の部分のそれぞれと交わる。
2m
cm とすると、
る。
[2]
2
m
について
m
x=2
m>0
すなわち
[3] f(0)>0 すなわち、
よって
m<3
....... 2
①②③の共通範囲を求めて
0
解答編
57
m+3>0
3
2<m<
(2)y=f(x)のグラフが
軸の正の部分と負の
部分のそれぞれと, 交
わるのは
f(0) <0
(1) y=f(x) のグラフ
が成り立つときである。
がx軸のx4の
部分と、異なる2点
で交わるのは, [1],
[2], [3] が同時に成り
立つときである。
O
-m
x
12
3-m
(0) < 0 から
3-m<0
[1] グラフと x軸が
異なる2点で交わる。
f(-4)
D> 0 から
m<-1, 3<m
④
あるから
222指針
(2) 2次関数y=f(x) のグラフが下に凸の放
線であるとき, x軸の正の部分と負の部分で
0 23
m
よって
m>3
参考 f(0) <0 のとき,すなわち
m3...... ① のとき, 放物線y=f(x)はx軸
と異なる2点で交わる。
[2] 軸x=-mについて -m>-4
すなわち
m<4
[3] f(-4) <0
すなわち 6m-190
よって
m<-
19
6
⑥
④ ⑤ ⑥ の共通範囲を求めて
19
m<-1, 3<m<-
6
f(0)<0
f(x)=x2+2(m-1)x+3-mとする。
これを変形すると
交わるための必要十分条件は
f(x)=(x+(m-1)}2-m²+m+2
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,軸は直
したがって, 2次方程式f(x) =0の判別式を D
としたとき,D0 という条件は考える必要はな
い。
実際, D について計算してみると
D={2(m-1)}2-4(3-m)
=4m²-4m-8=4(m+1)m-2)
線x=1-mである。
また, 2次方程式 f(x) = 0 の判別式をDとする
20
よって, D>0 とすると
m<-1,2<m
......
と
D={2(m-1)}2-413-m)
D<=4m²-m-2)
すなまぐ
=4(m+1)m-2)
右の図より、 ①と
②の共通部分は ①
に一致することが
わかる。
(1) y=f(x) のグラフと
x軸のx<1の部分が,
異なる2点で交わるの
は,次の[1] [2] [3]
が同時に成り立つとき
である。
223
■■指針
y1
m+2
01-
1-m
O
1
[1] グラフとx軸が異
(2)
なる2点で交わる。
D> 0 から
m<-1, 2<m
①
[2] 軸x=1-mについて
すなわち m>0
1-m<1
②
[3] f(1)>0 すなわち
12+2(m-1)・1+3 -m > 0
よって
したがって
m+2>0
m>-2
①②③の共通範囲を求めて
③
③
m>2
-2-1 0
2
m
-1
96
3 19 4 m
(2) y=f(x) のグラフ
23
m
がx軸のx>-2の
部分とx<2の部
分のそれぞれと交わ
るのは
0
f(x)=ax2+bx+c, D=62-4ac とする。
a0 のとき、放物線y=f(x) と x軸との共有
「点のx座標をα β (a<β) とすると, α β と
数の大小関係について
① α, βがともにんより大きい
→D>0, 軸の位置>k, f(k) <0
α, βがともにんより小さい
→
D>0, 軸の位置<k, f(k) <0
③kはα βの間
f(k) >0
f(x)=-x2-2mx-2-3とする。
これを変形すると
f(x)=(x+m)2+m²-2m-3
-1=
y=f(x) のグラフは上に凸の放物線で,軸は直
x=-mである。
また, 2次方程式 f(x) =0の判別式をDとする
と
D=(-2m)2-4(-1).(-2m-3)
=4(m²-2m-3)
=4(m+1)m-3)
f(-2)>0
が成り立つときである。
f(-2) 0から
2m-7>0
Dia
7
よって
m>
2
x=-2
224 f(x)=x2+2x+m(m-4)とする。
これを変形すると
f(x) = (x+1)^+m²-4m-1
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,軸
線 x=1である。
(1) x≦1で常にf(x) ≧0
が成り立つのは
f(-1)≥0
すなわち
m²-4m-1≧0
のときである。
これを解いて
m≦2-√52+√5≦m
解答
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