Mathematics
高中
已解決

画像の問222.223が分かりません。解説ではどれもf(1)>0や、f(0)<0などを示しています。なぜそのような考え方になるのか本気で理解できません。

33 222 2次関数y=x2+2(m-1)x+3-mのグラフが次のようになるとき,定数m の値の範囲を求めよ。 (1)x軸のx<1の部分と、異なる2点で交わる。 AAA (2) (2) x 軸の正の部分と負の部分のそれぞれと交わる。 * 223 2次関数y=-x2-2mx-2m-3のグラフが次のようになるとき, 定数mの 値の範囲を求めよ。 ☆(1)x軸のx-4の部分と、異なる2点で交わる。 (2)x軸のx-2の部分とx<-2の部分のそれぞれと交わる。
2m cm とすると、 る。 [2] 2 m について m x=2 m>0 すなわち [3] f(0)>0 すなわち、 よって m<3 ....... 2 ①②③の共通範囲を求めて 0 解答編 57 m+3>0 3 2<m< (2)y=f(x)のグラフが 軸の正の部分と負の 部分のそれぞれと, 交 わるのは f(0) <0 (1) y=f(x) のグラフ が成り立つときである。 がx軸のx4の 部分と、異なる2点 で交わるのは, [1], [2], [3] が同時に成り 立つときである。 O -m x 12 3-m (0) < 0 から 3-m<0 [1] グラフと x軸が 異なる2点で交わる。 f(-4) D> 0 から m<-1, 3<m ④ あるから 222指針 (2) 2次関数y=f(x) のグラフが下に凸の放 線であるとき, x軸の正の部分と負の部分で 0 23 m よって m>3 参考 f(0) <0 のとき,すなわち m3...... ① のとき, 放物線y=f(x)はx軸 と異なる2点で交わる。 [2] 軸x=-mについて -m>-4 すなわち m<4 [3] f(-4) <0 すなわち 6m-190 よって m<- 19 6 ⑥ ④ ⑤ ⑥ の共通範囲を求めて 19 m<-1, 3<m<- 6 f(0)<0 f(x)=x2+2(m-1)x+3-mとする。 これを変形すると 交わるための必要十分条件は f(x)=(x+(m-1)}2-m²+m+2 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,軸は直 したがって, 2次方程式f(x) =0の判別式を D としたとき,D0 という条件は考える必要はな い。 実際, D について計算してみると D={2(m-1)}2-4(3-m) =4m²-4m-8=4(m+1)m-2) 線x=1-mである。 また, 2次方程式 f(x) = 0 の判別式をDとする 20 よって, D>0 とすると m<-1,2<m ...... と D={2(m-1)}2-413-m) D<=4m²-m-2) すなまぐ =4(m+1)m-2) 右の図より、 ①と ②の共通部分は ① に一致することが わかる。 (1) y=f(x) のグラフと x軸のx<1の部分が, 異なる2点で交わるの は,次の[1] [2] [3] が同時に成り立つとき である。 223 ■■指針 y1 m+2 01- 1-m O 1 [1] グラフとx軸が異 (2) なる2点で交わる。 D> 0 から m<-1, 2<m ① [2] 軸x=1-mについて すなわち m>0 1-m<1 ② [3] f(1)>0 すなわち 12+2(m-1)・1+3 -m > 0 よって したがって m+2>0 m>-2 ①②③の共通範囲を求めて ③ ③ m>2 -2-1 0 2 m -1 96 3 19 4 m (2) y=f(x) のグラフ 23 m がx軸のx>-2の 部分とx<2の部 分のそれぞれと交わ るのは 0 f(x)=ax2+bx+c, D=62-4ac とする。 a0 のとき、放物線y=f(x) と x軸との共有 「点のx座標をα β (a<β) とすると, α β と 数の大小関係について ① α, βがともにんより大きい →D>0, 軸の位置>k, f(k) <0 α, βがともにんより小さい → D>0, 軸の位置<k, f(k) <0 ③kはα βの間 f(k) >0 f(x)=-x2-2mx-2-3とする。 これを変形すると f(x)=(x+m)2+m²-2m-3 -1= y=f(x) のグラフは上に凸の放物線で,軸は直 x=-mである。 また, 2次方程式 f(x) =0の判別式をDとする と D=(-2m)2-4(-1).(-2m-3) =4(m²-2m-3) =4(m+1)m-3) f(-2)>0 が成り立つときである。 f(-2) 0から 2m-7>0 Dia 7 よって m> 2 x=-2 224 f(x)=x2+2x+m(m-4)とする。 これを変形すると f(x) = (x+1)^+m²-4m-1 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,軸 線 x=1である。 (1) x≦1で常にf(x) ≧0 が成り立つのは f(-1)≥0 すなわち m²-4m-1≧0 のときである。 これを解いて m≦2-√52+√5≦m

解答

✨ 最佳解答 ✨

こういった関数に範囲が与えられている問題ではグラフを書きましょう。

「x軸のx<1の部分と、異なる2点で交わる」ようなグラフになるとき、どのような条件を満たしていれば良いかを考えます。

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