太陽S
P
--R
UP
158 第3章
<発展例題 67 面積速度と力学的エネルギー
図のように、彗星Cが, 太陽S を焦点とする楕円
軌道上を運動している。 C は, 近日点Pを速さ UP で,
遠日点Qを速さ v で通過する。 C, Sの質量はそれ
ぞれm, Mであり, 距離 SPはR, 距離 SQ は 2R
である。 また, 万有引力定数をG とする。
(1) up は v の何倍か。
(2) UP, vQ をそれぞれG, M, R を用いて表せ。
(3) 面積速度をG, M, R を用いて表せ。
の関係から
(2) 力学的エネルギーE=K+U= //mu-G
Mm
考え方 (1) ケプラーの第2法則より,面積速度は一定。
1
=½½mv²-GM
は保存される。
楕円軌道の場合は
2
r
解答 (1) ケプラーの第2法則より, 面積速度は一定だから、
12Rt=1/22RUo よって,p=2z
2倍
(2)無限遠を万有引力による位置エネルギーの基準とすると,力学
的エネルギー保存の法則から,
mvp²-G² Mm=123mvo2-G-
R
(補足
【面積速度
Mm
2R
2
.Mm
1
-m (2vo)2-G
=
mva²-G
Mm
2
Up=2vQ
一般に、
2
R
2
2R
I=-
3
Mm
GM
-mug2=G-
よって,
2
2R
V 3R
特に,
また, Up=2v=2√3R
=
(3) 面積速度は, 12Rus / GMR
-RUP=
3
GM
Up2
GM
3R
vQ...
GM
V3R
GMR
近日
遠
