Question

さくら

この(2)の問題で、なぜ-2a+3/3<1となるのか分かりません。添付した写真のように-2a+3/3>1となってはいけないのですか？どなたか教えてほしいです🙇🏻‍♀️💦

x
y
y
0
十
P
2極小入
極大
at
3

196
ように
(1) 関数f(x)=x+kx'+x+2 が極値をもたないように定数kの値の範囲を定めよ.
(2) 関数f(x)=x+ax²+bx がx=1で極小値をとるとき, 定数a, b の関係式を求めよ.
(1) f(x) =x3+kx'+x+2 より
f'(x) = 3x"+2kx +1
f'(x) = 0 の判別式をDとすると,
D=k² −3
f'(x)のx2の係数が正より, f(x) が極値をもたない
のは、つねに f'(x) ≧0 のとき, つまり, D≦0 のとき
である.
k-3≦0より, (k+√3)(k-√3)≦0
-√3≦k≦√3
(2) f(x)=x+ax2+bx より,
よって,
……………①
f'(x) =3x2+2ax + b ...... ①
f(x) がx=1で極小値をもつのは, f'(1)=0
となり,さらに, x=1 の前後で,
x<1 のとき f'(x) < 0 かつ
x>1 のとき f'(x)>0
となるときである.
f(x) 20 のとき,f(x)は単
調増加する .
f'(x) = 0 が重解をもつか、実
数解をもたない場合

①より、f'(1)=3・12+2a・1+6=0
したがって,b=-20-3
このとき,
f(x)=x+ax²-(2a+3)x
f'(x) =3x2+2ax=(2a+3)
=(x-1)(3x+2+3)
第6
f(x)の増減表が
f'(x) = 0 とすると, x=1,
2a+3
3
右のようになれば、
2a+3
x
x=1で極小値をもつ。
3
1
したがって,
f'(x) +
0
0+
2a+3
<1
f(x) 1
極大
極小
3
これより,a>-3
よって,b=-2a-3, a>-3
2a

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

f'(x)=3x²+2ax+bのグラフは下に凸の放物線
であることを想像すればわかりやすいですが、
f'(x)は正→0→負→0→正と変化します

よってf(x)は、xの増加にともなって
極大値を先にとり、次いで極小値をとります
（つまりf(x)のグラフは上がって下がって上がります）

与えられた条件からx=1で極小値をとるのだから、
増減表ではx=1が右側（大）で、
もう一つの(-2a+3)/3が左側（小）です

3次関数f(x)の3次の係数が正なら、
そのグラフはまず右上がりから始まる
ということを知っているとさらに早いです
（これは知識であって根拠としては微妙かもしれません）

和

念のため補足しますが、
3次関数f(x)の3次の係数が正の場合にも
①↗︎↘︎↗︎
②↗︎→↗︎
③↗︎のみ
のように様々な形がありますので、ご注意を

また、上でも述べていますが
「3次関数f(x)の3次の係数が正ならこういう形状」
は答案に書かない方が無難です
あくまで数Ⅱの極大極小は、模範解答のように
f'(x)の符号の変化を論じます

さくら

遅くなってしまいすみません🙇🏻‍♀️なるほど！！三次関数の3次の係数が正ならそのような形になるのですね🤔理解できました！ありがとうございます✨️

Answer 2

ある人

さくら様　三次関数の場合、三次の係数が正の数の場合、グラフは必ず写真のようになります。つまりさくら様がいうような増減は起きないのです。理解できましたか。

ある人

下のコメントに書いていて思い出したのですが、こうなるのは
極値を持つときだけです。今回は極値を持つので必ずこうなります。

さくら

遅くなってしまいすみません🙇🏻‍♀️なるほど！理解できましたありがとうございます！！