Question

苺大福

漸化式の解き方を1から解説していただきたいです。
どの問題でも構いません。

問題
16 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
(1) α1=2,an+1=an+2"-1 (n=1, 2, 3, ......)
(2) a₁ =1, an+1+an=3 (n=1, 2, 3,
(3) a₁ =2,2an+1=an+1 (n=1,2,3,......)

Answer 1

あ

(1)a[n+1]=a[n]+2^(n-1)
a[n+1]=pa[n]+q×r^n型の漸化式は、両辺r^(n+1)で割るという解法を取ります。
Ans)
a[n+1]=a[n]+1/2×2^n
両辺2^(n+1)で割って、
a[n+1]/2^(n+1)=1/2×(a[n]/2^n)+1/2
α=1/2α+1/2を解くと、α=1
よって、
a[n+1]/2^(n+1)-1=1/2(a[n]/2^n -1)
これは等比数列の形であるため、
a[n]/2^n-1=0×(1/2)^(n-1)
∴a[n]=2^n