写真の中にある紫ペンで囲った式の変形の覚え方を教えて欲しいです。語呂合わせで

Mathematics

高中

已解決

30天以前

写真の中にある紫ペンで囲った式の変形の覚え方を教えて欲しいです。語呂合わせでもダジャレでもなんでも結構です。全く覚えられなくて…。誰かお願いします！単元は数学的帰納法です。

考え方自然数nに関する証明については, 考えてみよう. (証明)(1) n=1のとき,P,=t+1=xより成り立つ。ーソドッ =kのとき、P=+1/2=xのを次の多項式)と仮定すると th +1 のとき, Ph+1=tk+1+ th+- th =xP-P- tk+1 Phだけではなく,P-1 の次数についても仮定が必要になる.また,(II) m ・・であるから, k-1≧1 より k≧2 でなければならない + ここで, Pa= (xk次の多項式) と仮定しているから,xPkはxの(k+1) 次ある.しかし,P-1 については,何次式なのか、xの多項式なのかもわからないとすると, n=1, 2, 解答 (I) n=1のとき,Pi=t+==xより成り立つ. 1 t \2 1 n=2のとき,P2=tt1/12=t+ t (II)n=k-1,k(k≧2) について、題意が成り立つと仮定する. 2=x-2より題意は成り立 JPk-1 は xの (k-1) 次の多項式すなわち, [Phはxの次の多項式 k tk+ Pk+1=t+1+ +1 1+1 = (1 + 1/1) (0 + 1 ) = ( 1^-1 + tk+1 =xP-P-1 で表されると仮定す tk th tk- 1 ここで,xPk は x(xのk次の多項式)より, 数列 + (I) (II)よりすべての自然数nについて題意は成り立つ. *)は成り立よって、n=k+1のときも題意は成り立つ次の多項式であるから, Pk+1 は xの (k+1) 次の多項式となる. xの (k+1) 次の多項式となり、Pはxの(k-1) Pa (k- はxの式より, Pk1 =(x (k+1) -xの(k- 注》 (I)でPがxの1次の多項式であることだけを示し, (II)の一般的な方法 2次の多項式であることを示そうとすると, Po, P, が必要となり困る。れていない) よって,(I)でP2 も調べておく必要がある. なお,下の練習 B1.63は, フィボナッチ千

数学的帰納法式の変形

解答

✨ 最佳解答 ✨

鯛のお造り

30天以前

そんな式無限にあるので覚えてたらキリないですよ。この問題は以下のような流れで解きます

まず、すべてのnについての証明問題なので帰納法っぽいなと思ってn=1を示します

次に、kでk+1を示します
tのk+1乗の式をtのk乗の式で表すために、tの式(t+1/t)を掛けてみると、
　( t^k + 1/ t^k )( t + 1/t )
　= t^{k+1} + 1/ t^{k+1} + t^{k-1} + 1/ t^{k-1}
なんか余計なものが付いてきちゃったので両辺から引くと、
　t^{k+1} + 1/ t^{k+1}
　= ( t^k + 1/ t^k )( t + 1/t ) - [ t^{k-1} + 1/ t^{k-1} ]
すなわち、
　P{k+1} = xP{k} - P{k-1}
これを用れば、kとk-1で、k+1を示せます

kでk+1を示したかったのにk-1も出てきてしまったので2つ仮定する帰納法に路線変更し、n=2も示しておきます

これで必要な材料が全て揃ったので「以上よりすべてのnについて成り立つ」などの〆の文言を書いて終わりです