Question

つづかな草

常用対数
（ィ）が分かりません( ˘•ω•˘ ).｡oஇ
どっからその数出てきたの?って感じです。
それも踏まえて回答いただけるとありがたいです😭よろしくお願いします🙇🏻‍♀️⸒⸒

6
基本 例 191 最高位の数と一の位の数
0000
12® は桁の整数である。 また, その最高位の数は で,一の
はである。 ただし, 10g102=0.3010, log103= 0.4771 とする。
指針 (ア)(イ) 正の数Nの桁数は
logie N の整数部分,
最高位の数は10gio N の小数部分に注目。
なぜなら, Nの桁数をkとし, 最高位の数をα (αは整数, 1≦a≦9) とすると
Na+1) ・10400... 0 0 がん1個) からα99.9 (9がk-1個)まで
logio (a10-1)log10N <10g10(a+1)・10^-1}
各辺の常用対数をとる。
k-1+logioalogoN <k-1+log10(a+1) login (4・10=logioa+logait
よって, logio N の整数部分をp, 小数部分をg とすると
logioag <logio (a+1)
p=k-1,
1
() 121, 122, 123,
・を計算してみて,一の位の数の規則性を見つける。
(ア) 10g 10 126=601ogio (223)=60(210g102+10g103)
=60(2×0.3010+0.4771)=64.746
10g1012=6010g 12
12=22.3
解答
ゆえに
64<log10 1260<65
よって
10641260 1065
(イ)(ア)から
したがって, 1260 は 65 桁の整数である。
log1012=64+0.746
ここで
10g105=1-10g102
=1-0.3010=0.6990
10g106=10g102+10g10 3
=0.3010+0.4771=0.7781
ゆえに
すなわち
よって
10g105 < 0.746 <10g106
5<100.7466
5・10641064.7466・1064
すなわち
5.106412606.1064
したがって, 126 の最高位の数は 5
(イ)の別解(ア)から
1260=104.746=10
10° <10.745 < 10'であるか
ら, 1074 の整数部分が
126 の最高位の数である。
ここで,
10g105=0.6990 から
100.69905
|10g 10 6 0.7781 から
100.7781-6
100.6990100.74610
から
51007466
(ウ) 12', 122 123 124 125,
よって、最高位の数は
の一の位の数は,順に
2, 4, 8, 6, 2,
60=4×15 であるから, 126 の一の位の数は
となり, 4つの数 2, 4, 8, 6 を順に繰り返す。
122 (mod10) である
から12" の一の位の
6
は、2” の一の位の数と同
じ。
③ 191 然数で,nの値はn=である。また, 8” の一の位の数はウで最高位
練習 自然数nが不等式 38 ≦10g10 8” <39 を満たすとする。 このとき,8"は桁の
る。
数はである。 ただし, 10g102=0.3010, 10g103=0.4771, logio7=0.8451と
(関西学院
p.312 EX

常用対数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Take

つづかな草さま
対数をとったときの小数点以下をみて、最高位の数を求めます。
そのために「1から10までの常用対数の値」を自力で求められるようにしておきます。
log₁₀1=0　←大切な性質です
log₁₀2=0.3010　←問題文に与えられることが多い
log₁₀3=0.4771　←問題文に与えられることが多い
log₁₀4=log₁₀2²=2log₁₀2=0.6020
log₁₀5=log₁₀(10/2)=1-log₁₀2=0.6990
log₁₀6=log₁₀(2・3)=log₁₀2+log₁₀3=0.7781
log₁₀7=0.8451　←「はしごを一つ」と暗記
log₁₀8=log₁₀2³=3log₁₀2=0.9030
log₁₀9=log₁₀3²=2log₁₀3=0.9542
log₁₀10=1　←これも大切な性質です
なお、最高位の数に関係ありませんが、参考までに
log₁₀11=1.04139　←「イチオシ遺作」
log₁₀12=log₁₀(2²・3)=2log₁₀2+log₁₀3=1.1791
log₁₀13=1.11394　←「いい遺作よ」
と続きます。さて、本問は
log₁₀12⁶⁰=64.746
よって、小数点以下は0.746
1から10までの常用対数の値を知っていれば、 0.6990 < 0.746 < 0.7781 だから
最高位の数は 5 だと分かります。ただ、これだと解答として荒いので、正しくは
0.6990 < 0.746 < 0.7781
∴10^0.6990 < 10^0.746 < 10^0.7781
∴5 < 10^0.746 < 6　(∵log₁₀5=log₁₀(10/2)=1-log₁₀2=0.6990 , log₁₀6=log₁₀(2・3)=log₁₀2+log₁₀3=0.7781)
∴5×10^64 < 10^64.746 < 5×10^64　←片々に×10^64
∴5×10^64 < 12⁶⁰ < 5×10^64
となります。