Question

りんご

この問題で相加平均・相乗平均を使う理由を教えて下さい
引き算で大小は分かる気がするのですが、相加相乗を使用するのはなぜでしょうか

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基本 例題 34 多くの式の大小比較
a>0,6>0, a=bのとき,
a+b
2ab
a2+62
✓ab,
2
a+b' V 2
|指針
大小を比較
基本 27,2932
4つの式の大小を,2つずつ (C2=) 6通り全部比較するのは面倒である。
そこで,a>0,b>0を満たす数 α = 1, 6=3 を代入してみると
a+b
2=2√ab=√3,
2
2ab
a+b
3
a²+b²
=√5
2
2'V
2ab
a+b
a²+62
よって,
<√ab
であると予想がつく。
a+b
2
2
この予想をもとに,2つずつ大小関係を決めていく。
CHART 多くの式の大小比較 予想して証明する
√ab(a+b)-2ab_√ab(a+b-2√ab)
2ab
√ab
解答
a+b
a+b
√aba-√6)
->0
a+b
2ab
よって
√ab> a+b
①
(相加平均) (相乗平均)により
a+b
<ab= (√ab)
√ab>0, √a-√60
から(√a-√6)20
a+b
>√ab
abから等号不成立。
2
a²+62
1 a+b² a²+b² (a+b)² - (a−b)²
=
>0
2
2
4
を含むから,平方の
差を比較。 a-b≠0
a²+62
>0,
2
2
a+b>075
a²+b²
a+b
2
2
2ab
①~③から
<√ab<-
a+b
a+b
a+b2
αキのとき。
2
2
参考上の例題において, a=bのときは,①,②③それぞれで>を=におき換えた等式が成
り立つ。すなわち
2ab
a=bのとき
=
√
ab =
a+b
a²+b²
=
a+b
2
A
2
2ab
2
また,
a+b
1 1
+
は逆数の相加平均の逆数である。 これを調和平均という。
a
b
上の例題の結果とAから,一般に, 40, 6>0に対して次のことが成り立つ。
(調和平均) ≦ (相乗平均) ≦ (相加平均) (等号が成り立つのはa=b のとき)
練習
(1) h

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

鯛のお造り

確かに引き算すれば相加相乗を証明するときと同じように示せますね
単に相加相乗を使えば見た瞬間に大小が分かってちょっと楽というだけの話です

りんご

ありがとうございます😊