Question

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この問題のエオについて質問です。なぜ cosもsinも0になるのでしょうか？上で表記されているから、というのは分かるのですがなぜ1🟰...となるか分かりません。。
zの0は1という所から来てるのでしょうか、？

解説お願いします🙏

素数平面
22
複素数のn
nn
例題 2
i を虚数単位とする。
と表すことができる。 両辺の絶対値と偏角を比較すると,
+isin
の右辺も極形式で表すと、③は,ア (cos イ 0+isin ウ 0) =cosエ
(1) 方程式 = 1...... Aを解く。 zの極形式をz=r(cos0+isin0) とし, 方程式
r= カ0=
kπ
キ
(k は整数) ......
(*)
π
コ
を得る。 0≦02の範囲で (*) の0の値は, 0=ク
π、
ケ
サ
以上により, 方程式の解は、シ i,スセ
-i である。
(2)方程式 28i®を解く。 zの極形式をz=r(cos0+isin0) とし、方程式®の
右辺も極形式で表すと,Bは,
ツ
, (cos夕 0+isinチ8)=ツ (cos +isin-
π
π
テ
ト
と表すことができる。 両辺の絶対値と偏角を比較すると,
(k+1)
r=ナ 0 =
(k は整数)...... (**)
ヌ
を得る。 0≦02の範囲で (**) の0の値は,
TC
0 =
π,
ネ
ハ
ヒ
フ
ヒ
ただし
<
π
ハ
以上により, 方程式の解は,
< +i.
ホ +i,
マミiである。
解答解説
(1)zの極形式をz=r(cos0+isin0) とすると,
ドモアブルの定理により,
z4=r* (cos40+isin40)A
方程式Aの右辺を極形式で表すと,
1=cos0+isin 0 A B
よって, 方程式 A は次のようになる。
r4 (cos40+isin40)=cos0+isin0 A
......ア, イ ウ エ オ (答)
ここで、両辺の絶対値と偏角を比較すると,
=1,40=0+2k(kは整数)
C
数学6
THE
A
鉄則 (複素数)” は,極形式で表
してド・モアブルの定理
2” を考えるときは,まずz = a+bi を
極形式 (cos0+isin0 )
で表す。 本間は, 方程式A,Bの両辺を
ともに極形式で表すことがポイントだ
そのあと,ド・モアブルの定理を使う。
ドモアブルの定理
z=cos0+isin のとき
z"=cosn0+isinn は整数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ve

Z^4=1 の方程式を解きたい問題ですよね。
Z^4を極形式で表し終えてますから(r^4(cos4θ+isin4θ))
次は1を極形式で表したいわけです。
1を極形式で表すと、cosθ=1, sinθ=0となるθの値を考えれば良くて、θ=0で表す事ができます。
つまり1=cos0+isin0

そして最後にz^4を表す極形式と1を表す極形式(2つの極形式は等しいので)の絶対値と偏角を比較すると、方程式が解けちゃうよ、という問題です！

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理解出来ました！ありがとうございました！
分かりやすかったのでベスアンに選ばさせていただきます！

Answer 2

Take

プロフィールさま
ｚの極形式 r(cosθ+i sinθ) は
　r=|z| , θ=arg(z)
から得られます。つまり、
１の極形式 r(cosθ+i sinθ) は
　r=|1|=1 , θ=arg(1)=0
から、1=1(cos0+i sin0)=cos0+i sin0
になります。

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理解しました！ありがとうございました！