基本 例題 49
2次方程式の解の存在範囲 )
本についての2次方程式(x+a+6=0が次のような解をもつよう
(1) 2つの解がともに2以上である。
の
(2)
の解は2より大きく、他の解は2より小さい。
p.76 基本事項 基本48
CHART & SOLUTION
実数解 α β と実数kの大小
a-k, β-kの符号から考える
(1) 2以上とは2を含むから、 等号が入ることに注意する。
a≥2, B≥2 (a-2)+(8-2)≥0, (a-2)(B-2)≥0]
(2)<2<BまたはB<2<α (α-2) (B-2)<0
解答
x²-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα, β とし, 判別式を
Dとすると
D={-(a-1)}-4(a+6)=α-6a-23
解と係数の関係により
a+β=a-1, aβ=a+6
(1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の① ② ③ が同
時に成り立つことである。
D≥O
(a-2)+(B-2)≥0 ......②
E
Linf. 2次関数
f(x)=x²-(a-1)x+a+
このグラフを利用すると
(1) D≧0,
(軸の位置) ≧2,
ƒ(2)≥0
x:
a-1
2
(a-2)(B-2)≥0
③
①から
a²-6a-23≥0
ゆえに
②から
a≤3-4√2, 3+4√2 ≤a...
α+β-4≧0
a≧5 ...... ⑤
......
④
(a-1)-4≥0
f(2)
よって
③から
αβ-2 (α+B)+4≧0
ゆえに
a+6-2(a-1)+4≧0
④ ⑤ ⑥ の共通範囲を求めて
よって a≦12... ⑥
2
a
(2)f(2) <0
B
(p.76.5 補足 参照)
6
3+4√2 Ma≦12
