Question

わ。

α=2i はどのようにして求めたのでしょうか？

基礎問
56 複素数列と極限
次の問いに答えよ.
1+i
(1) W=1,Wn+1=
2
-wn (n=1,2,3, ...) をみたす数列{wn}につい
て, wmnで表し,n→∞ のとき, wn が近づく点を求めよ.
(2)=1+2i, Zn+1=-
1+i
2
-zn+1+i (n=1, 2, 3, ...) をみたす数列
{2h}について,znnで表し, n→∞ のとき, Zn
が近づく点を求め
点wn
(2)
縮小し
原点
Zn
Ce
精講
55 (2)と同じ形の漸化式なので, wn はすぐに求まりますが, 極限は
実数と虚数で同じように考えてよいのでしょうか?
複素数 In+yni (In, yn:実数)は点(In, yn) と対応していることか
ら,Wn=In+yni において, In→α, yn→β(n→∞) ならば,wn→a+Bi
(n→∞) と考えられます。
だから,複素数列の極限は,wn=In+yniとおけば、2つの実数の数列{zn.
{yn}の極限を考えることと同じです.しかし, こうすると2つの数列{x},
{yn}を考えることになり時間が2倍かかります.そこで,この基礎問を通して,
{wn}のまま処理して,n→∞のとき, wn の近づく点を求めることを学びまし
ょう。
解答
(1)数列{20m は,初項1,公比 1+2 の等比数列だから,
+i\n-1
wn=1.1
1
2
+i\n-1
ここで
=
4
4 √2
だから、100ml=
n-1
2
.
n→∞ のとき, |wn|→0
すなわち, n→∞のときwn は原点に近づく .
1+i.
参考
COS
2
= 1/127 (cos 1/4 + i sin 17 )
π
4)より、

点を原点のまわりに回転して倍に
MA
W₂
Wr
につい
縮小した点が点 Wn+1 よって, 右図のように
原点に近づいていく様子がわかります。
wit
wx
WO
1
(2)Zn+1=-
Q=
W1=1, Wn+1=
1+iwn
Wn
2
極限は
(1)より,
数列
求め
①-②より, Zn+1-α = (zn-α)
α=2i だから Zn-2i=wn とおくと,
1+i
W06
-2n+1+i......①
2
に対して
1+i
a+1+i
••••••② をみたすαを考えると,
2
1+i
2
....③
ことか
Zn=w0n+2i=2i+(1+1)^-'
また, n→∞ のとき,(1)よりwn→0 だから,zn→2i
よって、znは点2iに近づく.
第4章
Pn(z),A(2i) とおくと,
■{x},
1+1=2 (cosaisin
π
4
Pn+1
より③は
Pn
2
し
In},
して
点Pを点Aのまわりに- 回転して
π
1倍した
π
4.
点がP+1であることを示しています.
まし
ポイント
演習問題 56
① 数列{wn}が漸化式 Wn+1=awn, |α|<1 をみたす
とき, limwn=0
n→∞
② 数列{n} が漸化式 Zn+1=0zn+β, |a|< 1 をみた
すとき, lim n=r
n→∞
ただし, rはr = ar + β をみたす
2=4-3i.
2+√3i
Zn+1
=
-zn+1 (n=1,2,3, …) をみたす
3'
3
数列{zn} について, limzn を求めよ.
n→∞

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

🍇こつぶ🐡

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