Question

おもち

なぜ黒線のような式が出来るのか、式変形の過程を教えて欲しいです🙇‍♀️

(2) (i) nCr=
n!
r!(n-r)!
より
nCn-r=
n!
n!
(n-r)!{n-(n-r)}! (n-r)! r! ===
nCr=nCn-r
(ii) n-1Cr-1+n-1Cr
(n-1)!
(n-1)!
+
=(r−1)!(n-r)! r! (n-r−1)!
(n−1)!{r+(n−r)} _ (n−1)!n ____n!
=
r!(n-r)!
r!(n-r)! r!(n-r)
.. nCr=n-1Cr-1+n-1Cr
ポイント.n!=nx (n-1)××2×1
n!
Pr= (n-r)!
n
Cr=r!(n
I (1)(iv) は (2)(i) を使うと, 6C2 を計算すればよい
IP.
Cの間にはP=Crxr! の関係式:

Answer 1

かんろ

まず組み合わせの一般形から、
nCr=nPr/r!=n(n-1)…(n-r+1)/r!
=n(n-1)…(n-r+1)(n-r)!/r!(n-r)!=n!/r!(n-r)!
から二段目はn=(n-1),r=(r-1)と変えてあげれば成り立ちます。ここから通分したいわけです。
右の分数に分母と分子に(n-r)を掛けてあげると無事(n-r)(n-1)!/r!(n-r)!となり分母が揃うので通分できます。あとは共通因数(n-1)!で括ってあげれば写真のようになります。