Question

ゆう

黄色で囲っている部分がどこからきたのか教えてください。

482
基本例 45 立漸化式 (2)
①①①①①
数列 {an}, {bm} をα=1, b=-1,=546, bn+1=a+b で定めるとき
数列 {an}, {bn} の一般項を求めよ。
指針基本例題 44 (1) と同様に,「等比数列を利用」の方針で進めると,本問では
an+1+abn=β(an+αbm) を満たす値の組 (α, β) が1つだけ定まる。
・基本 36,44
→antab=(a+αb) β の形を導くことができるが,これに=b-b を代入
して αn を消去すると bn+1= (1-α)+(a1+abi)β-1 となり, bm+1=pbn+g"
型の漸化式 (基本例題 36のタイプ) に帰着できる。
なお,「隣接3項間の漸化式に帰着」 の方針でも解ける。 これについては別解 参照。
an+1+abn+1=B (an+abn)
.....
① とすると
解答
5an-4bm+α(a+b)=ßan+aßbm
an+1=5an-4bn,
よって (5+α)an+(-4+α)bn=βan+aßb･･
これがすべてのnについて成り立つための条件は
5+α=β, -4+α=aß
(*)
b1=a+b を代入。
これを解くと α=-2,β=3
ゆえに, ① から
an+1-26+1=3(an-20)
また, α-261=3から
an-26=3.3-1=3"
よって
an=26n+3"
(*) の両辺の係数比較。
まず, β=5+αを
-4+α=αBに代入して,
βを消去
{an-26m} は初項3,公
比3の等比数列。
これに a=bn+1-bm を代入すると
bn+1=36n+3n
lan を消去。
両辺を3"+1で割ると
bn+1 bn
1
=
+
3n+1 3" 3
3
数列{2}は初項/12/1 =
-1
==
3
3'
公差 1/3 の等差数列
an+1=pan+g" 型は両
辺を α+1 で割る
(p.468 参照)。
であるから
bn
==
3"
したがって
--/1/31+(n-1)/13-1/2
an=3"-1(2n-1), bn=3"-1(n-2)
-1)・
==
a=2h - 7

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

こんぱち

このような形の漸化式に帰着できれば数列が等比数列であることがわかるので
(第n項にある数（今回でいえばβと仮定）をかけたら第n＋1項になる、ということは明らかに等比数列なので）
その形に変形できたとしたらこうなる、という仮定をしています。仮定なのでα、βを使ってわからない部分を文字で置いています。
もとの数列との比較からα、βを求めることで実際に最初のような形の漸化式になることを確かめています（6行目くらいまでの内容）

ゆう

理解できました。ありがとうございました