Question

迷子

√2が無理数であることの背理法を使った証明
背理法についていまいち理解できていないので解説お願いします

叩
明せよ。
の倍数)
√2 が無理数であることを背理法を用いて示せ.
(3)+(8)
(AND)-(0)-(80

証明 命題 数1

Answer 1

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背理法というのは、命題が真ではないと仮定→そこから、矛盾が生じることを指摘→やはり命題は真である
という流れで証明する方法のことをいいます。

√2が無理数でないと仮定すると、
自然数m、nを使って
√2=m/n
と表せる。(この時、m/nはこれ以上約分できないとする)
√2=m/nより、√2n=m、2n²=m²
左辺が2の倍数なので、mは2の倍数。よって、m²は4の倍数。
これはm/nがそれ以上約分できないという条件に対し矛盾する。したがって、命題「√2は無理数である」は真である。

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ちなみに、それ以上約分できない分数を「互いに素」といったり、「既約分数」といったりもします。教科書や参考書によって多少書き方が異なりますが、言っていることは同じです。

https://manabitimes.jp/math/1030
↑背理法以外の方法で、√2が無理数であることを証明する方法がいくつかあるようです。