本冊 p.473 で紹介した,三角形の成立条件|b-ck<a<b+c
①が成り立つときa>0,b>0,c>0である理由を考えてみよう。
[検討
① で, 16-c|≧0であるから,a>0 がわかる。
b≧c のとき,①から
b≧c であるから
b-c<b+c
b>0
よって
c>0
b<cのときも、同様にしてb>0, c0 が示される。
①について
練習 (1) AB=2, BC=x, AC=4-xであるような △ABC がある。 このとき, xの値の範囲を求め
③ 86
よ。
[ 岐阜聖徳学園大)
(2)△ABCの内部の1点をPとするとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ。
AP + BP + CP < AB+BC+CA
(1)△ABC が存在するための条件は
2(x-2)<2<4
三角形の成立条件
\b-c| <a<b+c
←|2(x-2)|=2|x-2|
|x-(4-x)| <2<x+(4-x)
すなわち
12(x-2)<2から
|x-2|<1
よって
-1<x-2<1
ゆえに
1 <x<3
a0 のとき
また, 24は常に成り立つ。
したがって 1 <x < 3
別解 △ABC が存在するための条件は
x+(4-x)>2, (4-x)+2>x, 2+x>4-x
が同時に成り立つことである。
90
この連立不等式を解いて 1 <x< 3
40
PD+DC> PC
(2) 直線 BP と辺 AC の交点をDとする。
△ABD において AB+AD>BD
また,△PCD において
①+② から
AB+AD+PD+DC>BD+PC
AB+(AD+DC)+PD>(PB+PD)+PC
ゆえに
よって
AB+AC> PB+PC
.....
同様に BC+BA >PC+PA
......
A
...
①
D
......
②
P
AQB
AO
\x\<α-a<x<a
-0
三角形の成立条件
(b+c>a
c+a>b
la+b>c
←三角形の2辺の長さ
和は、他の1辺の長さ
り大きい
←a> b, c > dならに
a+c>b+d
←両辺にPDが出て
消し合う。
CA+CB> PA+PB
③~⑤の辺々を加えると
2(AB+BC+CA)>2(AP+BP+CP)
よって
AP+BP+CP < AB+ BC + CA
←両辺を2で割る
練習 (1) 鈍角三角形の3辺のうち, 鈍角に対する辺が最大であることを証明せよ。
③ 87 (2) △ABCの辺BCの中点をMとする。 AB AC のとき
新品
<BAM <<CAMである
