実戦問題 13
2次方程式の解の存在範囲
mを定数として, 2次方程式x+2(m+2)x+2m+12 = 0... ① について考える。友
(2) 方程式 ①が2より大きい解と2より小さい解を1つずつもつとき, m の値の範囲は m<オカである。
(1)方程式 ①が異なる2つの正の解をもつときの値の範囲は アイ <m< ウエ である。
(3) 方程式 ①が1と2の間、2と3の間にそれぞれ解を1つずつもつとき,mの値の範囲は
解答
(1) f(x)=x+2(m+2)x+2m +12 とおくと
f(x) = {x+(m+2)}2-(m+2)^+2m+12
=(x+m+2)-m²-2m+8
@
方程式 ①が異なる2つの正の解をもつとき, y = f(x) のグラフは次
の (i)~ (iii) を満たす。
キクケ
コ
<<サシ
y=f(x)のグラフは頂点が
(-m-2, -m²-2m+8)
であり、下に凸の放物線であ
(
f
(1
Key 1
(i) x軸と異なる2点で交わる。
y=f(x) (不
(ii) 軸が x > 0 の部分にある。
(iii) f(0) > 0
(i)より, 頂点のy座標は負であるから
m²-2m+8< 0
0
f(0)
2次方程式 ① の判別式を考え
O
x
D
-m-2
4
= (m+2)² − (2m+12) >
よって,m²+2m-80より (-2)(+4)>0
としてもよい。
ゆえに m<-4, 2<m
(ii)より, 軸について
x=-m-2> 0
ゆえに
m<-2
C
(Ⅲ)より,f(0) =2m+120 であるから m>-6
(i) ~ (Ⅲ)より, 求めるmの値の範囲は
-6<m<-4
(-6-4-2 2 m
(2) 方程式①が2より大きい解と2より小さい解をもつとき,y=f(x) y=f(x) のグラフは下に凸
Key 1 のグラフはf(2) を満たす。
f(2) = 6m+24 < 0
ゆえに
m<-4
y
y=f(x)
放物線であるから, f (2) <0
満たせば、必然的にx>2
範囲とx<2の範囲のそれ
れにおいて, 1度ずつx軸と
わる。
Key
(3) 方程式 ①が1と2の間,2と3の間にそれぞれ
解を1つずつもつとき,y=f(x) のグラフは次
の (iv) ~ (vi) を満たす。
(iv) f (1) > 0
(v) f(2) <0
(vi) f(3)>0
(iv) より f(1) = 4m+170 であるから
(v)よりf(2)=6m+24< 0 であるから
17
m>-
4
(vi) よりf(3) = 8m+33> 0 であるから
(iv)~ (vi) より, 求めるmの値の範囲は
-
m <-4
攻略のカギ!
y=f(x)
2
1
3 x
m>-
388
33
33
<m<4
17
33
