✨ 最佳解答 ✨
(2)直線ax+by+c=0と点(x₁,y₁)の距離dを求める式は
d=|ax₁+by₁+c|/√(a²+b²) ,a²+b²≠0
点：円の中心(0,0)
距離：円の半径√2
これらを用いると、
√2=|c|/√(a²+b²) → c=±√{2(a²+b²)}
ax+by±√{2(a²+b²)}=0 (a²+b²≠0)
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(3)直線ax+by+c=0とx²+y²=2が接する（重解をもつ）ので
判別式=0を利用する。
直線は、a≠０またはb≠0なので、
b≠０のとき(先にb≠0の場合を計算してみる)、
y=－a/b・x－c/b = a'x+c'に置き換え、円の式に代入する
x²+(－a'x－c')²=2、(1+a'²)x²－2a'c'x+c'²－2=0
D(判別式)/4=a'c'²－(1+a'²)(c'²－2)=0
2+2a'²－c'²=0→ c'=±√(2+a'²)
y=－a/b・x±√(2+a²/b²) → ax+by±√{2(a²+b²)}
a≠0のとき、
b≠0と同様に計算すると、
x=－b/a・y±√(2+b²/a²) → ax+by±√{2(a²+b²)}
以上から、 ax+by±√{2(a²+b²)}=0 (a²+b²≠0)
〔参考〕「b≠0」と「b=0」にしなかった理由
b=0のときを計算すると、
ax=c…円の式に代入する
(c/a)²+y²=2、y=±√(2－(c/a)²)
yが重解(１つの解)になるのは、(c/a)²=2、c/a=±√2のとき
→ x=±√2 …これで正しいのですが、答えを書くときに
「b≠0」「b＝0」で、分けて書く必要があるので止めました。
・b≠0のとき、ax+by±√{2(a²+b²)} (a≠0)
・b＝0のとき、x=±√2
(3,1)を通るなら、a≠0であるから(図を書くとすぐにわかる)、
最初にy=ax+cとしておけばよかったのですが、、、
ax+by±√{2(a²+b²)}を求めてしまったので、
この式にb=1を入れて、(3,1)を通る直線を求めます、
（(3)のb≠0で出てきたy=a'x+c'と同じ）
1=3a±√{2(a²+1)}
⇒ 9a²－6a+1－2a²－2=0
⇒ 7a²－6a－1=0
⇒ (7a+1)(a－1)=0 … a=－1/7、a=1
y=－1/7x±10/7、y=x±2 … (3,1)を通るので、
答えは、y=－1/7x＋10/7、y=x－2 … あってる？
寄り道して、解説してしまったので、分かりにくい場合や、
方法のよさが分からない場合など、コメントください。
最初から、(3,1)を通る直線で計算します
失礼しました。
(3,1)を通るのを忘れてました。。。
少しお待ちください。